Poziom podstawowy
Pojęcia stosowane w rachunku prawdopodobieństwa:
- Doświadczenie losowe - czynność którą wykonujemy, np.: rzut kostką.
- Zdarzenie elementarne - jedno zdarzenie jakie może wydarzyć się w doświadczeniu losowym, np.: wypadło \(5\) oczek w rzucie kostką.
- Zdarzenie losowe - zbiór jednego lub kilku zdarzeń elementarnych, np.: wypadła parzysta liczba oczek (\(2\), \(4\), lub \(6\)).
- Moc zbioru - liczba elementów danego zbioru, np.: \(|\{2, 4, 6\}| = 3\).
Stosowane oznaczenia:
- \(\Omega \) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką \(\Omega =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
- \(A\) - zdarzenie losowe (podzbiór \(\Omega \)), np.: jeżeli \(A\) to zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek, to: \(A=\{2, 4, 6\}\).
Prawdopodobieństwo klasyczne
Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego \(A\) zawartego w zbiorze \(\Omega\) nazywamy liczbę: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\] gdzie:
\(|A|\) - to moc (czyli liczba elementów) zbioru \(A\),
\(|\Omega|\) - to moc zbioru \(\Omega\), Własności prawdopodobieństwa
- Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego \(A\) jest zawsze liczbą z przedziału \(\langle 0; 1 \rangle\): \[0\le P(A)\le 1\]
- Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe \(1\): \[P(\Omega )=1\]
- Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe \(0\): \[P(\emptyset )=0\]
- Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: \[P(A')=1-P(A)\]
- Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
W tym nagraniu wideo omawiam najbardziej praktyczne metody rozwiązywania zadań z kombinatoryki oraz klasycznego rachunku prawdopodobieństwa.
Czas nagrania: 64 min.
Poziom rozszerzony
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia \(A\) pod warunkiem zajścia zdarzenia \(B\) liczymy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] gdzie \(P(B)>0\)
Prawdopodobieństwo całkowite
Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\]
Wzór Bayesa
Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{P(A)}\]
Schemat Bernoulliego
W schemacie Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania \(k\) sukcesów w \(n\) próbach można obliczyć ze wzoru: \[P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] gdzie \(p\) - to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie