Wzór Bayesa
Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór:
\[P(B_k \mid A)=\frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{P(B_1) \cdot P(A \mid B_1)+P(B_2) \cdot P(A \mid B_2)+\ldots+P(B_n) \cdot P(A \mid B_n)}\]
\[P(\!B_k|\! A\!)\!\!=\!\!\frac{P(B_k)\! \cdot\! P(A | B_k)}{P(\!B_1\!)\! \cdot\! P(\!A |\! B_1\!)\!\!+\!\!P(\!B_2\!)\! \cdot\! P(\!A |\! B_2\!)+.\!.\!.\!\!+\!P(\!B_n\!)\! \cdot\! P(\!A |\! B_n\!)}\]
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mianownik wzoru można zamienić na \(P(A)\): \[P(B_k\mid A)=\frac{P(B_k)\cdot P(A\mid B_k)}{P(A)}\] Teraz mnożymy równianie stronami przez \(P(A)\): \[P(B_k\mid A)\cdot P(A)=P(B_k)\cdot P(A\mid B_k)\] Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: \[\frac{P(B_k\cap A)}{P(A)}\cdot P(A)=P(B_k)\cdot \frac{P(A\cap B_k)}{P(B_k)}\] Po skróceniu otrzymujemy: \[P(B_k\cap A)=P(A\cap B_k)\] Co kończy dowód.
W pierwszej urnie jest \(5\) kule białych i \(3\) czarne, a w drugiej urnie - \(3\) kule białe i \(1\) kula czarna. Wybieramy losowo urnę, a z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodzi z pierwszej urny, jeśli wiadomo, że jest to kula biała.
Niech \(B_1\) oznacza zdarzenie polegające na wybraniu pierwszej urny, a \(B_2\) - na wybraniu drugiej urny. Każdą z dwóch urn możemy wybrać z równym prawdopodobieństwem, więc: \[P(B_1)=P(B_2)=\frac{1}{2}\] Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej. Wówczas: \[P(A \mid B_1)=\frac{5}{8}\quad \text{i}\quad P(A \mid B_2)=\frac{3}{4}\] Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana biała kula pochodzi z pierwszej urny, wynosi:
\[ P(B_1 \mid A)=\frac{P(B_1) \cdot P(A \mid B_1)}{P(B_1) \cdot P(A \mid B_1)+P(B_2) \cdot P(A \mid B_2)}=\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{5}{11} \]
\[ \begin{split} P(B_1 \mid A)&=\frac{P(B_1) \cdot P(A \mid B_1)}{P(B_1) \cdot P(A \mid B_1)+P(B_2) \cdot P(A \mid B_2)}=\\[6pt] &=\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{5}{11} \end{split} \]