Poziom rozszerzony
Wzór
Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n \subset \Omega \) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór:
\[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\]
\[\!P(A)\!=\!P(\!A|B_1)\!\cdot\! P(B_1)+.\!.\!.\!+P(\!A|B_n)\!\cdot\! P(B_n)\]
W urnie mamy \(10\) kul białych i \(7\) kul czarnych. Losujemy jedną kulę i wyrzucamy ją, nie sprawdzając koloru. Jaka jest szansa wylosowania za drugim razem kuli białej?
Oznaczamy zdarzenia:
\(A\) - za II razem wylosowano kulę białą,
\(B_1\) - za I razem wylosowano kulę białą,
\(B_2\) - za I razem wylosowano kulę czarną.
Na początku w urnie jest \(17\) kul (\(10\) białych i \(7\) czarnych), więc: \[P(B_1)=\frac{10}{17}\quad \text{oraz} \quad P(B_2)=\frac{7}{17}\] Po wyrzuceniu jednej kuli w unie zostaje \(16\) kul, więc: \[P(A|B_1)=\frac{9}{16}\quad \text{oraz} \quad P(A|B_2)=\frac{10}{16}\]
Do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\) stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
\[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=\frac{9}{16}\cdot \frac{10}{17}+\frac{10}{16}\cdot \frac{7}{17} =\frac{90+70}{16\cdot 17}=\frac{10}{17} \]
\[\begin{split}&P(A)\!=\!P(\!A|B_1)\!\cdot\! P(B_1)+P(\!A|B_2)\!\cdot\! P(B_2)\!=\\[6pt] &=\frac{9}{16}\cdot \frac{10}{17}+\frac{10}{16}\cdot \frac{7}{17} =\frac{90+70}{16\cdot 17}=\frac{10}{17}\end{split} \]
Na loterii mamy \(40\%\) losów wygrywających, \(50\%\) losów przegrywających oraz \(10\%\) losów "Graj dalej!" - pozwalających na wyciągnięcie następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej? Zakładamy, że w każdej kolejnej grze szansa na wylosowanie każdego typu losu nie ulega zmianie.
Oznaczamy zdarzenia:
\(A\) - wygrano na loterii,
\(B_1\) - wyciągnięto los wygrywający,
\(B_2\) - wyciągnięto los przegrywający,
\(B_3\) - wyciągnięto los "Graj dalej!".
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy:
\[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+P(A|B_3)\cdot P(B_3)=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(A)\cdot \frac{1}{10}\]
\[\begin{split}P(A)&\!=\!P(A|B_1)\!\cdot\! P(B_1)+P(A|B_2)\!\cdot\! P(B_2)+\\[6pt] &+P(A|B_3)\cdot P(B_3)=\\[6pt] &=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(A)\cdot \frac{1}{10}\end{split}\]
Zatem mamy: \[\begin{split} &P(A)=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(A)\cdot \frac{1}{10}\\[6pt] &P(A)=\frac{4}{10}+\frac{1}{10}P(A)\\[6pt] &P(A)-\frac{1}{10}P(A)=\frac{4}{10}\\[6pt] &\frac{9}{10}P(A)=\frac{4}{10}\\[6pt] &P(A)=\frac{4}{9} \end{split}\]
Z urny zawierającej \(3\) kule czarne i \(2\) kule białe losujemy kulę, po czym zwracamy ją do urny i dorzucamy jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana. Następnie ponownie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną?
Oznaczamy zdarzenia:
\(A\) - za II razem wylosowano kulę czarną,
\(B_1\) - za I razem wylosowano kulę białą,
\(B_2\) - za I razem wylosowano kulę czarną.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy: \[ P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2) \] Jeśli za I razem wylosowano kulę białą (zdarzenie \(B_1\)), to dorzucamy do urny \(2\) kule białe, zatem mamy łącznie \(7\) kul (\(3\) czarne i \(4\) białe). Czyli: \[P(A|B_1)=\frac{3}{7}\] Jeśli za I razem wylosowano kulę czarną (zdarzenie \(B_2\)), to dorzucamy do urny \(2\) kule czarne, zatem mamy łącznie \(7\) kul (\(5\) czarnych i \(2\) białe). Czyli: \[P(A|B_2)=\frac{5}{7}\] Zatem:
\[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5} =\frac{6+15}{7\cdot 5}=\frac{3}{5}\]
\[\begin{split}&\!P(\!A)\!=\!P(\!A|B_1)\!\cdot\! P(B_1)+P(\!A|B_2)\!\cdot\! P(B_2)\!=\\[6pt] &=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5} =\frac{6+15}{7\cdot 5}=\frac{3}{5}\end{split}\]
Wśród \(10\) monet są \(3\) monety niesymetryczne, na których orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{3}\), a pozostałe monety są symetryczne. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w rzucie losowo wybraną monetą wypadnie orzeł.
W pierwszej urnie jest \(6\) kul białych i \(4\) czarne, w drugiej - po \(8\) kul białych i \(8\) czarnych, a w trzeciej - \(5\) kul białych i \(3\) czarne. Wybieramy losowo urnę, a z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.
Mamy \(10\) urn. Do czterech wrzucono po \(4\) kule białe, \(4\) czarne i \(1\) niebieskiej, a do sześciu pozostałych - po \(2\) kule białe, \(3\) czarne i \(4\) niebieskie. Z losowo wybranej urny losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.
W pewnej grupie młodzieży, \(25 \%\) dziewcząt i \(60 \%\) chłopców interesuje się sportem. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba z tej grupy interesuje się sportem, wynosi \(\frac{3}{7}\). Oblicz stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców w tej grupie.
\(\frac{24}{25}\)
Wśród wyrobów firmy I i II wyroby wadliwe stanowią odpowiednio \(4\%\) i \(2\%\). Firma I dostarcza do hurtowni trzy razy więcej towaru niż firma II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo zakupiona w tej hurtowni jedna sztuka towaru okaże się dobra.
\(\frac{193}{200}\)
Sklep sprzedaje żarówki wyprodukowane w firmach I i II, przy czym w każdej z tych firm żarówki wadliwe stanowią odpowiednio \(1 \%\) i \(4 \%\) produkcji. Wyznacz stosunek liczby \(x\) żarówek wyprodukowanych przez firmę I do liczby \(y\) żarówek wyprodukowanych przez firmę II, sprzedawanych w tym sklepie tak, aby prawdopodobieństwo kupienia żarówki wadliwej (przy losowym jej zakupie) było nie większe niż \(0{,}02\).
\(\frac{x}{y}\geqslant 2\)
Dane są dwa zbiory \(A=\{1,2,3, \ldots, 2024,2025\}\) i \(B=\{2026, 2027, \ldots, 2036,2037\}\). Rzucamy sześcienna, symetryczną kostką do gry. Jeśli wypadną mniej niż trzy oczka, losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(A\), w przeciwnym wypadku losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(B\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba \(c^2+1\) będzie podzielna przez \(10\).
\(\frac{7}{30}\)
Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla losowo wybranej liczby naturalnej \(n\), wyrażenie \(n^3+6\) jest podzielne przez \(7\).
\(\frac{3}{7}\)