Prawdopodobieństwo warunkowe

Poziom rozszerzony

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\), liczymy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] gdzie \(A, B \subset \Omega \) i \(P(B)>0\).

W tym nagraniu omawiam prawdopodobieństwo warunkowe na kilku przykładach.

Wykonano rzut sześcienną kostką do gry. Wyznacz prawdopodobieństwo wyrzucenia więcej niż trzech oczek, jeśli wiadomo, że wypadła parzysta liczba oczek.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(\Omega \) - jeden rzut kostką do gry,
\(A\) - wyrzucono więcej niż trzy oczka,
\(B\) - wyrzucono parzystą liczbę oczek,
\(A\cap B\) - wyrzucono parzystą liczbę oczek większą od 3.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy moce zbiorów:

\(|\Omega |=|\{1,2,3,4,5,6\}|=6\)

\(|A |=|\{4,5,6\}|=3\)

\(|B |=|\{2,4,6\}|=3\)

\(|A\cap B |=|\{4,6\}|=2\)

Teraz liczymy prawdopodobieństwa:

\(P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|\Omega |}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

\(P(B)=\frac{|B|}{|\Omega |}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\]

W urnie jest \(8\) kul: \(4\) białe i \(4\) czarne. Wybieramy losowo bez zwracania 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana kula będzie czarna, gdy pierwsza wylosowana kula była biała.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - druga wylosowana kula jest czarna,
\(B\) - pierwsza wylosowana kula jest biała,
\(A\cap B\) - pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga wylosowana kula jest czarna.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy potrzebne prawdopodobieństwa:

\(P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

\(P(A\cap B)=\frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{2}{7}\)

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{7}\]

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - na żadnej kostce nie wypadła szóstka,
\(B\) - na każdej kostce wypadła inna liczba oczek,
\(A\cap B\) - na każdej kostce wypadła inna liczba oczek i nie wypadła ani jedna szóstka.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy potrzebne prawdopodobieństwa:

\(P(B)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3}\)

\(P(A\cap B)=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6^3}\)

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6^3}}{\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3}} =\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6^3}\cdot \frac{6^3}{6\cdot 5\cdot 4}=\frac{1}{2}\]

Wybrano losową rodzinę z dwojgiem dzieci. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli:

młodsze dziecko jest chłopcem.

jest co najmniej jeden chłopiec.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano rodzinę z dwoma chłopcami,
\(B\) - młodsze dziecko jest chłopcem,
\(A\cap B\) - młodsze dziecko jest chłopcem i starsze dziecko jest chłopcem.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Młodsze dziecko może być z równym prawdopodobieństwem chłopcem jak i dziewczynką. Zatem: \[P(B)=\frac{1}{2}\]

Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\). Prawdopodobieństwo, że młodsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\) oraz prawdopodobieństwo, że starsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\), zatem: \[P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}\]

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano rodzinę z dwoma chłopcami,
\(B\) - w rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec,
\(A\cap B\) - w rodzinie jest dwóch chłopców.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). W rodzinie mamy dwoje dzieci i chcemy, żeby był co najmniej jeden chłopiec, zatem mamy \(3\) możliwości: \[(\text{chłopiec}, \text{dziewczynka}),\quad (\text{dziewczynka},\text{chłopiec}),\quad (\text{chłopiec},\text{chłopiec})\] Łączne wszystkich możliwości jest \(4\): \[(\text{chłopiec}, \text{dziewczynka}),\quad (\text{dziewczynka},\text{chłopiec}),\quad (\text{chłopiec},\text{chłopiec}),\quad (\text{dziewczynka},\text{dziewczynka}),\] Zatem: \[P(B)=\frac{3}{4}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{3}\]

Łucznik strzela do tarczy \(10\) razy. Przy każdym strzale ma \(90\%\) szansy na trafienie w cel. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łucznik trafił do tarczy \(10\) razy, jeśli wiadomo, że co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów były celne?

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - łucznik trafił do tarczy \(10\) razy,
\(B\) - łucznik trafił co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów,
\(A\cap B\) - łucznik trafił do tarczy \(10\) razy.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\). Korzystamy ze schematu Bernoulliego. Ponieważ łucznik ma trafić co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów, zatem musimy obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania \(3\) sukcesów w \(5\) próbach, \(4\) sukcesów w \(5\) próbach i \(5\) sukcesów w \(5\) próbach przy prawdopodobieństwie sukcesu \(p=\frac{9}{10}\). Suma tych prawdopodobieństw, to prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\): \[\begin{split} P(B)&=\binom{5}{3}\cdot \left (\frac{9}{10} \right )^3 \cdot \left (\frac{1}{10} \right )^2+ \binom{5}{4}\cdot \left (\frac{9}{10} \right )^4 \cdot \left (\frac{1}{10} \right )^1+ \left (\frac{9}{10} \right )^5=\\[6pt] &=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{9^3}{10^5}+ \frac{5!}{4!}\cdot \frac{9^4}{10^5}+ \frac{9^5}{10^5}=\\[6pt] &=\frac{10\cdot 9^3}{10^5}+\frac{5\cdot 9^4}{10^5}+\frac{9^5}{10^5}=\\[6pt] &=\frac{10\cdot 9^3+5\cdot 9^4+9^5}{10^5}= \frac{9^3(10 +5\cdot 9+9^2)}{10^5}=\frac{136\cdot 9^3}{10^5} \end{split}\]

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\cap B\): \[ P(A\cap B)=\left (\frac{9}{10} \right )^{10}=\frac{9^{10}}{10^{10}} \]

Zatem mamy ostatecznie: \[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{9^{10}}{10^{10}}}{\frac{136\cdot 9^3}{10^5}} =\frac{9^{10}}{10^{10}}\cdot \frac{10^5}{136\cdot 9^3} =\frac{9^7}{136\cdot10^5} \]

Z grupy 8 osób - czterech chłopców i czterech dziewcząt - wybieramy losowo 2 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano dwóch chłopców, jeśli wiadomo, że:

wybrano co najmniej jednego chłopca

wśród wybranych osób jest najstarszy chłopiec

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano dwóch chłopców,
\(B\) - wybrano co najmniej jednego chłopca,
\(A\cap B\) - wybrano dwóch chłopców.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Wybrano co najmniej jednego chłopca, zatem wybrano albo dwóch chłopców, albo chłopca i dziewczynkę. \[P(B)=\frac{\binom{4}{2}+\binom{4}{1}\cdot \binom{4}{1}}{\binom{8}{2}} =\frac{6+4\cdot 4}{\frac{7\cdot 8}{2}} =\frac{22}{28}\]

Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\), czyli wybrania dwóch chłopców: \[P(A\cap B)=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{6}{28}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{6}{28}}{\frac{22}{28}}=\frac{6}{28}\cdot \frac{28}{22}=\frac{3}{11}\]

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano dwóch chłopców,
\(B\) - wśród wybranych osób jest najstarszy chłopiec,
\(A\cap B\) - wybrano dwóch chłopców i jest wśród nich najstarszy chłopiec.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Wybrano najstarszego chłopca spośród \(4\) chłopców i do niego dobrano jeszcze dowolną inną osobę spośród pozostałych \(7\) osób. W tym przypadku wszystkie osoby są rozróżnialne (ze względu na wiek), zatem musimy uwzględnić kolejność wybierania: \[P(B)=\frac{\binom{2}{1}\cdot 7}{8\cdot 7}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\] Symbol Newtona \(\binom{2}{1}\) w liczniku, to wybór \(1\) miejsca z \(2\) dla najstarszego chłopca.

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\), czyli wybrania dwóch chłopców, wśród których jest najstarszy chłopiec. Na początku wybieramy miejsce dla najstarszego chłopca, a potem dobieramy od niego jednego z \(3\) pozostałych chłopców: \[P(A\cap B)=\frac{\binom{2}{1}\cdot 3}{8\cdot 7}=\frac{3}{28}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{28}}{\frac{1}{4}}=\frac{3}{28}\cdot 4=\frac{3}{7}\]

Zdarzenia losowe \(A\) i \(B\) zawarte w \(\Omega\) są takie, że prawdopodobieństwo \(P(B')\) zdarzenia \(B'\), przeciwnego do zdarzenia \(B\), jest równe \(\frac{1}{4}\). Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A|B) = \frac{1}{5}\). Wynika stąd, że

A.\( P(A\cap B) = \frac{1}{20} \)

B.\( P(A\cap B) = \frac{4}{15} \)

C.\( P(A\cap B) = \frac{3}{20} \)

D.\( P(A\cap B) = \frac{4}{5} \)

\(P(A\cap B) = \frac{3}{20}\)

Zdarzenia losowe \(A\), \(B\) zawarte w \(\Omega \) są takie, że \(P(B)\gt 0\) i prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A|B)=0{,}386\). Oblicz \(\frac{P(A'\cap B)}{P(B)}\). Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

\(0{,}614\)

Zdarzenia losowe \(A\), \(B\) zawarte w \(\Omega \) są takie, że \(P(A\cup B)=0{,}9\); \(P(A\cap B')=0{,}2\); \(P(A'\cap B)=0{,}4\). Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A|B)\).

\(\frac{3}{7}\)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych od \(30\) losujemy kolejno \(2\) razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy w ten sposób parę liczb, których iloczyn jest mniejszy od \(30\) pod warunkiem, że pierwsza wylosowana liczba jest mniejsza od drugiej wylosowanej liczby.

\(\frac{49}{435}\)

Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie trzy liczby ze zbioru \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba \(4\), pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

\(\frac{13}{44}\)

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

\(\frac{30}{91}\)