Własności rachunku prawdopodobieństwa

Poziom podstawowy

Podstawowe własności

Prawdopodobieństwo \(P\) określone na zbiorze zdarzeń elementarnych \(\Omega\) spełnia warunki:

\(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\) dla dowolnego \(A \subset \Omega\),
\(P(\emptyset)=0\) i \(P(\Omega)=1\),
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\) dla dowolnych zdarzeń rozłacznych \(A, B \subset \Omega\).

Wykonujemy dwukrotny rzut sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania na obu kostkach takiej samej liczby oczek lub na jednej kostce wyniku o \(4\) większego niż na drugiej.

Liczba możliwych wyników dwukrotnego rzutu kostką wynosi: \[|\Omega|=6\cdot 6=36\] Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że na obu kostkach wypadła taka sama liczba oczek. Wówczas: \[A=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}\] Czyli: \[|A|=6\] \(B\) oznacza zdarzenie, że na jednej kostce wypadła liczba o \(4\) większa niż na drugiej. Wówczas: \[B=\{(1,5), (2,6), (5,1), (6,2)\}\] Czyli: \[|B|=4\] Zbiory \(A\) i \(B\) są rozłączne (mają wszystkie elementy różne), zatem \[P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\frac{|A|}{|\Omega|}+\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}+\frac{4}{36}=\frac{5}{18}\]

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Niech \(P\) będzie prawdopodobieństwem określonym na zbiorze \(\Omega\). Wówczas dla dowolnego \(A\subset \Omega\): \[P(A')=1-P(A)\]

Rzucamy trzykrotnie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej raz wypadnie orzeł.

Liczba możliwych wyników trzykrotnego rzutu monetą wynosi: \[|\Omega|=2\cdot 2\cdot 2=8\] Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu przynajmniej jednego orła w trzech rzutach.
Rozpatrzmy zdarzenie \(A^{\prime}\) przeciwne do zdarzenia \(A\).
Polega ono na wyrzuceniu samych reszek: \[A^{\prime}=\{(r, r, r)\}\] Zatem \(|A^{\prime}|=1\), czyli \[P(A^{\prime})=\frac{|A^{\prime}|}{|\Omega|}=\frac{1}{8}\] Czyli szukane prawdopodobieństwo wynosi: \[P(A)=1-P(A^{\prime})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\] Alternatywny sposób rozwiązania:
Po obliczeniu \(|A^{\prime}|=1\) można obliczyć moc \(A\): \[|A|=|\Omega|-|A'|=8-1=7\] A stąd wynika: \(P(A)=\frac{7}{8}\).

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Niech \(P\) będzie prawdopodobieństwem określonym na zbiorze \(\Omega\). Wówczas dla dowolnych \(A, B\subset \Omega\): \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Z powyższego wzoru można również uzyskać wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: \[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\]

Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń

Niech \(P\) będzie prawdopodobieństwem określonym na zbiorze \(\Omega\). Wówczas dla dowolnych \(A, B\subset \Omega\): \[P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)\]

Powyższe własności na prawdopodobieństwo sumy i różnicy zdarzeń łatwo można zobrazować na rysunku:

O zdarzeniach \(A\) oraz \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(P(A)=\frac{5}{6}, P(B)=\frac{2}{3}\) i \(A\cup B\) jest zdarzeniem pewnym. Wtedy

A.\( P(A\cap B)=\frac{1}{2} \)

B.\( P(A\cap B)=\frac{1}{3} \)

C.\( P(A\cap B)=\frac{1}{4} \)

D.\( P(A\cap B)=\frac{1}{6} \)

Jeżeli \(A\) jest zdarzeniem losowym oraz \(A'\) jest zdarzeniem przeciwnym do \(A\) i \(P(A)=5\cdot P(A')\), to prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

A.\( \frac{4}{5} \)

B.\( \frac{1}{5} \)

C.\( \frac{1}{6} \)

D.\( \frac{5}{6} \)

Jeżeli \(A\) i \(B\) są zdarzeniami losowymi, \(B'\) jest zdarzeniem przeciwnym do \(B\), \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B') = 0{,}4\) oraz \(A\cap B=\emptyset \), to \(P(A\cup B)\) jest równe

A.\( 0{,}12 \)

B.\( 0{,}18 \)

C.\( 0{,}6 \)

D.\( 0{,}9 \)

O zdarzeniach losowych \(A\) i \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(B\subset A\), \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}3\). Wtedy

A.\( P(A\cup B)=1 \)

B.\( P(A\cup B)=0{,}7 \)

C.\( P(A\cup B)=0{,}4 \)

D.\( P(A\cup B)=0{,}3 \)

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).

\(0{,}4\)

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}7\). Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \(B\backslash A\).

\(0{,}4\)

Wiadomo, że \(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(P(A) = 0{,}7\), \(P(B)=0{,}6\) i \(P(A\cup B)=0{,}8\). Oblicz \(P(A \cap B)\).

\(P(A\cap B)=0{,}5\)

Jeżeli \( A \) jest zdarzeniem losowym, a \( A' \) - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia \( A \) oraz zachodzi równość \( P(A)=2P(A')\ \), to

A.\(P(A)=\frac{2}{3} \)

B.\(P(A)=\frac{1}{2} \)

C.\(P(A)=\frac{1}{3} \)

D.\(P(A)=\frac{1}{6} \)