Prawdopodobieństwo klasyczne

Poziom podstawowy

Obliczanie prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polega na określeniu liczby zdarzeń sprzyjających (moc zbioru \(A\)) oraz liczby wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru \(\Omega\)). Do tego celu stosujemy kombinatorykę.

Definicja

Prawdopodobieństwem zdarzenia \(A\) zawartego w zbiorze \(\Omega\) (skończonym i niepustym) nazywamy liczbę: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\] gdzie:
\(|A|\) - to moc (czyli liczba elementów) zbioru \(A\),
\(|\Omega|\) - to moc zbioru \(\Omega\),

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek w rzucie sześcienną kostką do gry.

W rzucie sześcienną kostką do gry, możemy otrzymać jeden z wyników należących do zbioru \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Zakładamy, że kostka jest symetryczna, czyli szansa otrzymania każdego wyniku jest równa \(\frac{1}{6}\).

Wyrzucimy parzystą liczbę oczek, jeżeli uzyskamy jeden z trzech wyników: \(2\), \(4\) lub \(6\). Oznaczmy przez \(A\) zbiór wyników sprzyjających. Zatem: \(A=\{2,4,6\}\).
Czyli mamy: \[|\Omega|=6\] \[|A|=3\]

Zatem szansa wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek większej niż \(9\) w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.

Wynikiem dwukrotnego rzutu kostką jest para dwóch liczb. Przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych \(\Omega\) ma \(36\) elementów: \[ \begin{aligned} \Omega=\{&(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1), \\ & (1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),\\ & (1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),\\ & (1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),\\ & (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),\\ & (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\} \\ & \end{aligned} \] Zatem: \[|\Omega|=36\] Oznaczmy przez \(A\) zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć. Wypisujemy wszystkie pary liczb ze zbioru \(\Omega\), których suma jest większa od \(9\): \[ A=\{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\} \] Czyli: \[|A|=6\] Zatem szukane prawdopodobieństwo to: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech liczb parzystych w trzykrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.

Wynikiem trzykrotnego rzutu kostką jest trójka liczb. Przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych \(\Omega\) wygląda tak: \[\Omega=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),...,(6,6,6)\}\] Z reguły mnożenia obliczamy moc zbioru: \[|\Omega|=6\cdot 6\cdot 6=216\] Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wypadły trzy liczby parzyste. Aby tak było, to w każdym rzucie może wypaść jedna z trzech liczb parzystych : \(2\), \(4\) lub \(6\). Zatem z reguły mnożenia mamy: \[|A|=3\cdot 3\cdot 3=27\] Zatem szukane prawdopodobieństwo to: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3^3}{6^3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\]

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

A.\( \frac{1}{2} \)

B.\( \frac{1}{5} \)

C.\( \frac{1}{4} \)

D.\( \frac{3}{4} \)

W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(3:4\). Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

A.\( \frac{1}{4} \)

B.\( \frac{1}{3} \)

C.\( \frac{3}{7} \)

D.\( \frac{3}{4} \)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

\(\frac{5}{12}\)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy \(12\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

\(\frac{1}{9}\)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy

A.\( p=\frac{1}{18} \)

B.\( p=\frac{1}{6} \)

C.\( p=\frac{1}{3} \)

D.\( p=\frac{2}{3} \)

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.
Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

A.\(9\)

B.\(12\)

C.\(15\)

D.\(30\)

Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

\(\frac{4}{81}\)

Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5, -4, 1, 2, 3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

\(\frac{12}{25}\)

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\). Zapisz obliczenia.

\(\frac{3}{32}\)

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od \(1\) do \(8\) - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\). Zapisz obliczenia.

\(\frac{8}{56}=\frac{1}{7}\)

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia

\(\frac{3}{10}\)

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K=\{5,6,7,8,9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

\(\frac{13}{25}\)

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1000\) do \(9999\). Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej \(3\), jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający. Zapisz obliczenia.

\(\frac{1}{900}\)

Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).

\(P(A)=\frac{1}{25}\)

Poziom rozszerzony

Na poziomie rozszerzonym do obliczania mocy zbiorów często stosuje się wzór na kombinację z symbolem Newtona: \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \] Z tego wzoru obliczamy na ile sposobów można wybrać \(k\) elementów ze zbioru \(n\)-elementowego.

Z urny, w której jest \(5\) kul białych i \(7\) kul czarnych, losujemy jednocześnie \(2\) kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul tego samego koloru?

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych \(\Omega\) jest zbiorem dwuelementowych kombinacji zbioru \(12\)-elementowego. Zatem \[|\Omega|=\binom{12}{2}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=66\] Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowano \(2\) kul białe lub \(2\) kule czarne. Ze wzoru na kombinację i reguły dodawania mamy: \[ |A|=\binom{5}{2}+\binom{7}{2}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}+\frac{7!}{2!\cdot 5!}=10+21=31 \] Zatem \[P(A)=\frac{31}{66}\]

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.

\(\frac{1}{15}\)

W urnie umieszczono \(4\) kule białe i \(8\) kul czarnych. Losujemy jedną kulę. Jeżeli będzie biała, to wrzucamy ją z powrotem do urny i dorzucamy do niej jeszcze dwie białe kule. Jeżeli będzie czarna, to zatrzymujemy ją i dorzucamy dwie zielone kule do urny. Następnie losujemy z urny jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie z wylosowanych za drugim razem kul są białe.

\(\frac{29}{273}\)

W pierwszej urnie umieszczono \(3\) kule białe i \(5\) kul czarnych, a w drugiej urnie \(7\) kul białych i \(2\) kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

\(\frac{5}{11}\)

W urnie I jest \(7\) czarnych kul, a w urnie II są \(3\) czarne kule. Do tych urn wkładamy losowo w sumie \(3\) kule białe. Następnie losujemy urnę i z urny jedną kulę. Oblicz, ile należy wrzucić białych kul do urny I, aby prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z losowo wybranej urny było równe \(\frac{17}{72}\).

\(2\)

W pudełku znajduje się \(8\) piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1\) do \(8\). Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez \(4\). Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Z liczb ośmioelementowego zbioru \(Z = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}\) tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

\(P(A) = \frac{5}{14}\)