Suma wszystkich wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\) istnieje i jest różna od zera, zatem \(a_1 \neq 0\) i iloraz \(q\) tego ciągu spełnia warunek \(|q|<1\).
Korzystamy ze wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i obliczamy iloraz \(q\) ciągu \(\left(a_n\right)\) : \[ \begin{gathered} a_1+a_2+a_3=a_1 \cdot \frac{1-q^3}{1-q}=\frac{a_1}{1-q} \cdot\left(1-q^3\right)=S \cdot\left(1-q^3\right) \\ 7=8\left(1-q^3\right) \\ q=\frac{1}{2} \end{gathered} \] Zatem \[S=a_1 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 a_1\] i \[S_n=a_1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]\] Stąd, wobec \(a_1 \neq 0\), otrzymujemy \[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{2 a_1-2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}{2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}=\frac{2 a_1 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n}{2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\] Rozwiązujemy nierówność \(\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001\) w zbiorze liczb całkowitych dodatnich: \[ \begin{gathered} \left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001 \\ \left|\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\right|<0,001 \end{gathered} \] Ponieważ \(q=\frac{1}{2} \in(0,1)\), więc \(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n>0\).
Zatem nierówność \(\left|\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\right|<0,001\) możemy przeksztakcić do postaci \[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}<0,001\] Stąd otrzymujemy dalej: \[ \begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\right)^n<0,001\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right] / \cdot 2^n \\ 1<0,001\left(2^n-1\right) \\ 2^n>1001 \end{gathered} \] Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), więc \(n>9\).
Rozwiązaniem nierówności \(\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001\) w zbiorze liczb całkowitych dodatnich są wszystkie liczby naturalne większe od 9 .