Wyznaczamy pochodną funkcji \(f\) : \[ f^{\prime}(x)=\frac{2 x \cdot(x-1)-\left(x^2+3\right) \cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2 x-3}{(x-1)^2} \] dla każdego \(x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}\). Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej stycznej: \[ f^{\prime}(-3)=\frac{(-3)^2-2 \cdot(-3)-3}{(-3-1)^2}=\frac{9+6-3}{16}=\frac{3}{4} \] Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P=(-3,-3)\) ma postać: \[ y=\frac{3}{4} x+b \] Obliczamy współczynnik \(b\).
Punkt \(P\) leży na prostej stycznej, więc: \[-3=\frac{3}{4} \cdot(-3)+b\] Stąd:\[b=-\frac{3}{4}\] Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P=(-3,-3)\) ma postać: \[y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{4}\]