Rozwiązanie CKE:
Sumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) można zapisać w postaci \[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3\] gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\).
Ponieważ \[ (a-1)^3+a^3+(a+1)^3=a^3-3 a^2+3 a-1+a^3+a^3+3 a^2+3 a+1=3 a\left(a^2+2\right), \] więc liczba \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\) jest podzielna przez \(4\) jako iloczyn liczby parzystej \(3a\) i liczby parzystej \(a^2+2\).
Jeżeli \(a=3 k\), przy pewnym \(k \in \mathbb{Z}\), to \(3 a\left(a^2+2\right)=9 k\left(9 k^2+2\right)\) jest liczbą podzielną przez \(9\).
Jeżeli \(a=3 k+1\), przy pewnym \(k \in \mathbb{Z}\), to \[3 a\left(a^2+2\right)=3(3 k+1)\left[(3 k+1)^2+2\right]=\] \[=3(3 k+1)\left(9 k^2+6 k+3\right)=9(3 k+1)\left(3 k^2+2 k+1\right)\] jest liczbą podzielną przez \(9\).
Jeżeli \(a=3 k+2\), przy pewnym \(k \in \mathbb{Z}\), to liczba \[3 a\left(a^2+2\right)=\] \[ =3(3 k+2)\left[(3 k+2)^2+2\right]=3(3 k+2)\left(9 k^2+12 k+6\right)=9(3 k+2)\left(3 k^2+4 k+2\right) \] jest liczbą podzielną przez \(9\).
Zatem suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest podzielna przez \(9\). Ponieważ suma trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest liczbą podzielną przez \(4\) i przez \(9\) oraz liczby \(4\) i \(9\) są względnie pierwsze, więc ta suma jest liczbą podzielną przez \(36\).