Wyznacz pierwiastki całkowite wielomianu \( W(x)=x^4+2x^3-13x^2+4x-30 \).
Pierwiastków całkowitych wielomianu szukamy tylko wśród dzielników wyrazu wolnego \( -30 \).
Dzielnikami liczby \( -30 \) są: \[-1,\ 1,\ -2,\ 2,\ -3,\ 3,\ -5,\ 5,\ -6,\ 6,\ -10,\ 10,\ -15,\ 15,\ -30,\ 30\] Sprawdzamy wszystkie liczby po kolei:
\[\begin{split}W(-1)&={(-1)}^{4}+2\cdot {(-1)}^{3}-13\cdot {(-1)}^{2}+4\cdot (-1)-30=\\&=1-2-13-4-30=-48\ne 0\\\end{split}\] \[\begin{split}W(1)&={1}^{4}+2\cdot {1}^{3}-13\cdot {1}^{2}+4\cdot 1-30=\\&=1+2-13+4-30=-36\ne 0\\\end{split}\] \[\begin{split}W(-2)&={(-2)}^{4}+2\cdot {(-2)}^{3}-13\cdot {(-2)}^{2}+4\cdot (-2)-30=\\&=16-16-52-8-30=-90\ne 0\\\end{split}\] \[\begin{split}W(2)&={2}^{4}+2\cdot {2}^{3}-13\cdot {2}^{2}+4\cdot 2-30=\\&=16+16-52+8-30=-42\ne 0\\\end{split}\] \[\begin{split}W(-3)&={(-3)}^{4}+2\cdot {(-3)}^{3}-13\cdot {(-3)}^{2}+4\cdot (-3)-30=\\&=81-54-117-12-30=-132\ne 0\\\end{split}\] \[\begin{split}W(3)&={3}^{4}+2\cdot {3}^{3}-13\cdot {3}^{2}+4\cdot 3-30=\\&=81+54-117+12-30=0 \quad \Rightarrow \quad \text{3 jest pierwiastkiem}\end{split}\] \[\begin{split}W(-5)&={(-5)}^{4}+2\cdot {(-5)}^{3}-13\cdot {(-5)}^{2}+4\cdot (-5)-30=\\&=625-250-325-20-30=0 \quad \Rightarrow \quad -5 \text{ jest pierwiastkiem}\end{split}\] \[\begin{split}W(5)&={5}^{4}+2\cdot {5}^{3}-13\cdot {5}^{2}+4\cdot 5-30=\\&=625+250-325+20-30=540\ne 0\end{split}\]
Wartości wielomianu dla kolejnych dzielników przedstawię już bez wykonywania szczegółowych obliczeń:
\[W(-6)=366\ne 0\] \[W(6)=5326\ne 0\] \[W(-10)=6630\ne 0\] \[W(10)=10710\ne 0\] \[W(-15)=40860 \ne 0\] \[W(15)=54480\ne 0\] \[W(-30)=744150\ne 0\] \[W(30)=852390\ne 0\]
Odpowiedź: Całkowitymi pierwiastkami wielomianu \( W(x) \) są: \( x=3 \) oraz \( x=-5 \).
Uwaga! Zazwyczaj nie trzeba wykonywać szczegółowych obliczeń dla wszystkich dzielników. Dla wielu liczb od razu "na oko" widać, że wielomian dla nich się nie wyzeruje.
Ponadto zawsze warto zacząć sprawdzanie od najmniejszych dzielników.