Rozwiąż równanie: \(\sqrt{4-|x|}>\frac{x-1}{|x-1|}\).
Zacznijmy od tego, że ustalimy dziedzinę.
Pod pierwiastkiem nie może stać liczba ujemna, zatem: \[\begin{split}4-|x|&\ge 0\\-|x|&\ge -4\\|x|&\le 4\\x&\in \langle -4;4 \rangle\end{split}\] Ponadto w mianowniku nie może stać zero, zatem: \[\begin{split}|x-1|&\ne 0\\x-1&\ne 0\\x&\ne 1\end{split}\] Zatem ostatecznie dziedzina, to: \[x\in \langle -4;1)\cup (1;4 \rangle\] Teraz przystępujemy do rozwiązywania nierówności.
Zaczniemy od podniesienia nierówności stronami do kwadratu, żeby pozbyć się pierwiastka po lewej stronie. Zanim jednak to zrobimy, to musimy mieć pewność, że obie strony nierówności są dodatnie (nie wolno podnosić nierówności stronami do kwadratu, jeżeli jedna strona może być dodatnia, a druga ujemna). Lewa strona na pewno jest dodatnia, bo pierwiastek zawsze jest dodatni. Prawa strona jest dodatnia jeżeli licznik jest dodatni (bo moduł w mianownik zawsze jest dodatni), czyli jeżeli \(x>1\).
Będziemy mieli zatem dwa przypadki (w przedziałach uwzględnimy od razu dziedzinę):
- Dla \(x\in (1;4\rangle\) mamy: \[\underbrace{\sqrt{4-|x|}}_{\text{dodatnie}}>\underbrace{\frac{x-1}{|x-1|}}_{\text{dodatnie}} \] czyli możemy podnieść stronami do kwadratu: \[\begin{split}\left ( \sqrt{4-|x|} \right )^2&>\frac{{(x-1)}^{2}}{{(|x-1|)}^{2}}\\[6pt]4-|x|&>\frac{{(x-1)}^{2}}{{(x-1)}^{2}}\end{split}\] Po prawej stronie w mianowniku mogliśmy opuścić wartość bezwzględną, bo jest ona podnoszona do kwadratu. Prawdą jest, że: \[(\text{|dowolna liczba|})^2=(\text{dowolna liczba})^2\] Liczymy dalej naszą nierówność skracając ułamek po prawej stronie: \[\begin{split}4-|x|&>\frac{{(x-1)}^{2}}{{(x-1)}^{2}}\\4-|x|&>1\\-|x|&>-3\\|x|&<3\\x&\in (-3;3)\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania z przyjętym przedziałem: \[(-3;3)\cap (1;4\rangle\equiv (1;3)\] i otrzymujemy rozwiązanie: \[\begin{split}x&\in (1;3)\end{split}\]
- Dla \(x\in \langle -4; 1)\) mamy: \[\underbrace{\sqrt{4-|x|}}_{\text{dodatnie}}>\underbrace{\frac{x-1}{|x-1|}}_{\text{ujemne}} \] Liczba dodatnia jest zawsze większa od ujemnej, czyli w tym przypadku rozwiązaniem będzie każda liczba rzeczywista z wziętego przedziału, czyli: \[x\in \langle -4; 1)\]
Zatem ostatecznie z 1. i 2. rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów: \[x\in \langle -4; 1)\cup (1;3)\]