Wielomian \( W(x) \) po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci: \[W(x)=a_n{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\ldots +{a}_{2}{x}^{2}+a_1x+{a}_{0}\] Oblicz sumę: \[a_n+{a}_{n-1}+\ldots+{a}_{2}+a_1+{a}_{0},\] jeżeli \( W(x)={\left ( 2{x}^{3} +3x-6 \right )}^{2010} \).
Na początku zdefiniujmy funkcję \( {S}_{w} \) przyporządkowującą każdemu wielomianowi sumę jego współczynników: \[{S}_{w}\left ( a_n{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\ldots +{a}_{2}{x}^{2}+a_1x+{a}_{0} \right ) = a_n + {a}_{n-1}+\ldots+{a}_{2} + a_1 + {a}_{0}.\] Teraz udowodnimy następujący fakt:
Fakt 1. Dla dowolnych wielomianów: \( P(x) \) i \( Q(x) \) zachodzi: \[{S}_{w}\left ( P(x)\cdot Q(x) \right )={S}_{w}\left ( P(x) \right )\cdot {S}_{w}\left ( Q(x) \right )\]
Dowód Niech: \[\begin{split}P(x)&={p}_{n}{x}^{n}+{p}_{n-1}{x}^{n-1}+\ldots +{p}_{2}{x}^{2}+{p}_{1}x+{p}_{0}\\Q(x)&={q}_{m}{x}^{m}+{q}_{m-1}{x}^{m-1}+\ldots +{q}_{2}{x}^{2}+{q}_{1}x+{q}_{0}\end{split}\] Przy takich oznaczeniach mamy: \[{S}_{w}\left ( P(x) \right )={p}_{n}+{p}_{n-1}+\ldots +{p}_{2}+{p}_{1}+{p}_{0}\] oraz \[{S}_{w}\left ( Q(x) \right )={q}_{m}+{q}_{m-1}+\ldots +{q}_{2}+{q}_{1}+{q}_{0}\] Czyli prawą stronę równania możemy rozpisać: \[\begin{split}P &= {S}_{w}\left ( P(x) \right )\cdot {S}_{w}\left ( Q(x) \right ) =\\&= \left ( {p}_{n}+{p}_{n-1}+\ldots +{p}_{1}+{p}_{0} \right )\cdot \left ( {q}_{m}+{q}_{m-1}+\ldots +{q}_{1}+{q}_{0} \right )=\\&=\left ( {p}_{n}{q}_{m} + {p}_{n}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{n}{q}_{1}+{p}_{n}{q}_{0} \right )+\\&\quad \left ( {p}_{n-1}{q}_{m} + {p}_{n-1}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{n-1}{q}_{1}+{p}_{n-1}{q}_{0} \right )+\\&\quad (\ldots)+\\&\quad \left ( {p}_{1}{q}_{m} + {p}_{1}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{1}{q}_{1}+{p}_{1}{q}_{0} \right )+\\&\quad \left ( {p}_{0}{q}_{m} + {p}_{0}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{0}{q}_{1}+{p}_{0}{q}_{0} \right )\end{split}\] Teraz wymnożymy wielomiany: \( P(x)\cdot Q(x) \): \[\begin{split}P(x)\cdot Q(x) &= \left ( {p}_{n}+{p}_{n-1}+\ldots +{p}_{1}+{p}_{0} \right )\cdot \left ( {q}_{m}+{q}_{m-1}+\ldots +{q}_{1}+{q}_{0} \right )=\\&=\left ( {p}_{n}{q}_{m}{x}^{n+m} + {p}_{n}{q}_{m-1}{x}^{n+m-1}+\ldots+{p}_{n}{q}_{1}{x}^{n+1}+{p}_{n}{q}_{0}{x}^{n} \right )+\\&\quad \left ( {p}_{n-1}{q}_{m}{x}^{n+m-1} + {p}_{n-1}{q}_{m-1}{x}^{n+m-2}+\ldots+{p}_{n-1}{q}_{1}{x}^{n}+{p}_{n-1}{q}_{0}{x}^{n-1} \right )+\\&\quad (\ldots)+\\&\quad \left ( {p}_{1}{q}_{m}{x}^{m+1} + {p}_{1}{q}_{m-1}{x}^{m}+\ldots+{p}_{1}{q}_{1}{x}^{2}+{p}_{1}{q}_{0}x \right )+\\&\quad \left ( {p}_{0}{q}_{m}{x}^{m} + {p}_{0}{q}_{m-1}{x}^{m-1}+\ldots+{p}_{0}{q}_{1}x+{p}_{0}{q}_{0} \right ) \end{split}\] Zatem lewa strona równania jest postaci: \[\begin{split}L &= {S}_{w}\left ( P(x)\cdot Q(x) \right ) =\\&=\left ( {p}_{n}{q}_{m} + {p}_{n}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{n}{q}_{1}+{p}_{n}{q}_{0} \right )+\\&\quad \left ( {p}_{n-1}{q}_{m} + {p}_{n-1}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{n-1}{q}_{1}+{p}_{n-1}{q}_{0} \right )+\\&\quad (\ldots)+\\&\quad \left ( {p}_{1}{q}_{m} + {p}_{1}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{1}{q}_{1}+{p}_{1}{q}_{0} \right )+\\&\quad \left ( {p}_{0}{q}_{m} + {p}_{0}{q}_{m-1}+\ldots+{p}_{0}{q}_{1}+{p}_{0}{q}_{0} \right )\end{split}\] Zatem: \[L=P\ {}_{\blacksquare }\]
Korzystając teraz z powyższego faktu mamy, że: \[{S}_{w}\left ( {\left ( 2{x}^{3} +3x-6 \right )}^{2010} \right ) = {\left ( {S}_{w}\left ( 2{x}^{3} +3x-6 \right ) \right )}^{2010} = {\left ( 2+3-6 \right )}^{2010}={\left ( -1 \right )}^{2010}=1\]