Rozwiąż równanie \(|x|^{x^2-x-2}\lt 1\).
Na początku możemy zauważyć, że potęga po lewej stronie równania może być mniejsza od \(1\) tylko jeżeli podstawa i wykładnik będą spełniały ściśle określone warunki. Pierwszy możliwy przypadek jest taki: \[{(\text{liczba większa od 1})}^{(\text{liczba ujemna})}<1\] a drugi jest taki: \[{(\text{ułamek z przedziału: }\langle 0, 1))}^{(\text{liczba dodatnia})}<1\] Zapiszemy teraz matematycznie i rozwiążemy oba przypadki.
- Podstawa większa od \(1\), a wykładnik ujemny: \[\begin{split}&\begin{cases}|x|>1\\x^2-x-2<0\end{cases} \\[6pt]&\begin{cases}x>1\lor x<-1\\(x-2)(x+1)<0\end{cases}\\[6pt]&\begin{cases}x\in (-\infty ;-1)\lor (1;+\infty )\\x\in (-1;2)\end{cases}\end{split}\] Bierzemy część wspólną rozwiązań obu nierówności i otrzymujemy rozwiązanie dla pierwszego przypadku: \[\bigl ( (-\infty ;-1)\lor (1;+\infty ) \bigl )\ \cap \ (-1;2) \equiv (1;2)\] czyli \[\begin{split}&x\in (1;2)\end{split}\]
- Podstawa jest ułamkiem z przedziału \(\langle 0, 1)\), a wykładnik jest dodatni: \[\begin{split}&\begin{cases}|x|\ge 0 \land |x|<1\\(x-2)(x+1)>0\end{cases} \\[6pt]&\begin{cases}x\in (-1;1)\\x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\end{cases}\end{split}\] Częścią wspólną otrzymanych rozwiązań jest zbiór pusty: \[(-1;1)\ \cap\ \bigl ( (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty ) \bigl )\equiv \emptyset \] czyli z drugiego przypadku nie otrzymujemy żadnego rozwiązania.
Zatem rozwiązaniem nierówności jest: \[\begin{split}&x\in (1;2)\end{split}\]