Rozwiąż nierówność \(|x-1|<|x+1|\).
Rozwiązywanie tej nierówności zaczniemy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę: \[\begin{split}|x-1|&<|x+1|\\|x-1|-|x+1|&<0\end{split}\] Teraz pozbędziemy się wartości bezwzględnych.
W tym celu musimy ustalić kiedy wyrażenia pod modułami są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-1&\ge 0\\x&\ge 1\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+1&\ge 0\\x&\ge -1\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=1 \text{ oraz } x=-1\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -1\) | dla \(x\in \langle -1; 1 )\) | dla \(x\ge 1\) |
| wyrażenie \(x-1\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
| wyrażenie \(x+1\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -1\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x-1|-|x+1|&< 0\\-(x-1)+(x+1)&<0\\-x+1+x+1&<0\\2&<0\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną, czyli w przedziale \(x < -1\) nierówność nie ma rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -1; 1 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest ujemne, a pod drugim dodatnie. Pierwszy moduł opuścimy zatem ze zmianą znaku, a drugi bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x-1|-|x+1|&< 0\\-(x-1)-(x+1)&<0\\-x+1-x-1&<0\\-2x&<0\\x&>0\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania: \(x\in (0;+\infty )\) z przedziałem z założenia: \(x\in \langle -1; 1 )\) i otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in (0; 1 )\)
- Dla \(x \ge 1\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x-1|-|x+1|&< 0\\x-1-(x+1)&<0\\x-1-x-1&<0\\-2&<0\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową, czyli taką, którą spełnia każda liczba rzeczywista \(x\). Zatem w tym przypadku rozwiązaniem będzie cały rozważany przedział: \(x \in \langle 1;+\infty )\)
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in (0; 1 )\cup \langle 1;+\infty )\), czyli \(x\in (0;+\infty )\).