Rozwiąż nierówność \(|x+1|-|x-2|\ge 1\).
Rozwiązywanie tej nierówności zaczniemy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+1&\ge 0\\x&\ge -1\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-2&\ge 0\\x&\ge 2\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-1 \text{ oraz } x=2\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -1\) | dla \(x\in \langle -1; 2 )\) | dla \(x\ge 2\) |
| wyrażenie \(x+1\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-2\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -1\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+1|-|x-2|&\ge 1\\-(x+1)+(x-2)&\ge 1\\-x-1+x-2&\ge 1\\-3&\ge 1\\\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną, czyli w przedziale \(x < -1\) nierówność nie ma rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -1; 2 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+1|-|x-2|&\ge 1\\x+1+(x-2)&\ge 1\\2x-1&\ge 1\\2x&\ge 2\\x&\ge 1\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania z przedziałem \(x\in \langle -1; 2 )\) i otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in \langle 1; 2 )\)
- Dla \(x \ge 2\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+1|-|x-2|&\ge 1\\x+1-(x-2)&\ge 1\\x+1-x+2&\ge 1\\3&\ge 1\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową, czyli taką, którą spełnia każda liczba rzeczywista \(x\). Zatem w tym przypadku rozwiązaniem będzie cały rozważany przedział: \(x \in \langle 2;+\infty )\)
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in \langle 1; 2 )\cup \langle 2;+\infty )\), czyli \(x\in \langle 1;+\infty )\).