Rozwiąż nierówność \(|x+2|+|x-3| > 5\).
Rozwiązywanie tej nierówności zaczniemy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+2&\ge 0\\x&\ge -2\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-2 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -2\) | dla \(x\in \langle -2; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+2\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -2\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+2|+|x-3|&> 5\\-(x+2)-(x-3)&>5\\-x-2-x+6&>5\\-2x+4&>5\\-2x&>1\\x&<-\frac{1}{2}\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania: \(x\in \left ( -\infty ;-\frac{1}{2} \right )\) z przedziałem z założenia: \(x\in (-\infty ;-2)\) i otrzymujemy ostatecznie, że \(x\in (-\infty ;-2)\).
- Dla \(x\in \langle -2; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+2|+|x-3|& > 5\\x+2-(x-3)&>5\\x+2-x+3&>5\\5&>5\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną, czyli w przedziale \(x\in \langle -2; 3 )\) nierówność nie ma rozwiązań.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+2|+|x-3|&> 5\\x+2+x-3>5\\2x-1>5\\2x>6\\x>3\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania: \(x\in (3; +\infty )\) z przedziałem z założenia: \(x\in (3; +\infty )\) i otrzymujemy ostatecznie, że \(x\in (3; +\infty )\).
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in (-\infty ;-2)\cup (3; +\infty )\).