Rozwiąż nierówność \(|5x-2|\ge x\).
W tej nierówności \(x\) występuje również poza wartością bezwzględną, zatem będziemy musieli rozwiązać nierówność przedziałami.
Ustalmy na początku kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie: \[\begin{split}5x-2&\ge 0\\5x&\ge 2\\x&\ge \frac{2}{5}\end{split}\] Zatem w przedziale \(x\in \langle \frac{2}{5}; +\infty )\) wyrażenie \(5x-2\) jest dodatnie czyli opuścimy moduł bez zmiany znaku.
Dla \(x\in (-\infty; \frac{2}{5})\) wyrażenie \(5x-2\) jest ujemne, więc w tym przedziale moduł opuścimy ze zmianą znaku.
Rozpiszmy te dwa przypadki:
- Dla \(x\in \langle \frac{2}{5}; +\infty )\) mamy: \[|5x-2|\ge x\\5x-2\ge x\\4x\ge2\\x\ge \frac{1}{2}\] Czyli wyszło nam, że \(x\in \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\), ale teraz musimy jeszcze wziąć część wspólną tego rozwiązania z założeniem, czyli przedziałem \(x\in \langle \frac{2}{5}; +\infty )\).
Mamy zatem: \(x\in \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\cap \langle \frac{2}{5}; +\infty )\), czyli \(x\in \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\). - Dla \(x\in (-\infty; \frac{2}{5})\) mamy: \[|5x-2|\ge x\\-(5x-2)\ge x\\-5x+2\ge x\\-6x\ge-2\\x\le \frac{1}{3}\] Czyli wyszło nam, że \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle\), ale teraz musimy jeszcze wziąć część wspólną tego rozwiązania z założeniem, czyli przedziałem \(x\in (-\infty; \frac{2}{5})\).
Mamy zatem: \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle\cap (-\infty; \frac{2}{5})\), czyli \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle\).
Zatem ostatecznie z 1. i 2. otrzymujemy rozwiązanie naszej nierówności, które jest sumą dwóch przedziałów: \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle \cup \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\).