Rozwiąż nierówność \(\bigl | |x-2|-2 \bigl |\lt 1\).
Na początku opuścimy zewnętrzną wartość bezwzględną i zamienimy tą jedną nierówność na dwie nierówności, ale już bez zewnętrznego modułu.
W nierówności występuje znak mniejszości ( \(< \)), zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "i" ( \(\land \) ). \[\begin{split}\bigl | |x-2|-2 \bigl |&<1\\|x-2|-2<1 \quad &\land \quad |x-2|-2>-1\\|x-2|<3 \quad &\land \quad |x-2|>1\end{split}\] Otrzymaliśmy dwie nierówności z wartościami bezwzględnymi i teraz będziemy musieli każdą z nich oddzielnie rozwiązać. Na koniec weźmiemy część wspólną obu otrzymanych rozwiązań (bo nierówności są połączone spójnikiem "i").
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
\[\begin{split}|x-2|&<3\\x-2<3\quad &\land \quad x-2>-3\\x<5\quad &\land \quad x>-1\\x&\in (-1;5)\end{split}\]
Teraz rozwiązujemy drugą nierówność:
\[\begin{split}|x-2|&>1\\x-2>1\quad &\lor \quad x-2<-1\\x>3\quad &\lor \quad x<1\\x&\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )\end{split}\] Teraz bierzemy część wspólną dwóch otrzymanych przedziałów: \(x\in (-1;5)\cap \bigl ( (-\infty ;1)\cup (3;+\infty ) \bigl )\).
Czyli \(x\in (-1;1)\cup (3;5)\).