Rozwiąż nierówność \(|x+1| \le k\), gdzie \(k\) - parametr.
Zauważmy na początku, że jeżeli parametr \(k\) jest liczbą ujemną, to podana nierówność jest sprzeczna dla każdej liczby \(x\). Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemna. Zatem jeśli napiszemy, że moduł ma być mniejszy lub równy od jakiejś liczby ujemnej, to będzie to na pewno nieprawda. Można to zobrazować w ten sposób: \[\underbrace{\underbrace{|\text{dowolna liczba}|}_{+}\le \underbrace{\text{liczba ujemna}}_{-}}_{fałsz} \] Zatem dla \(k<0\) nierówność jest sprzeczna, czyli \(x\in \emptyset \).
Rozwiążemy teraz nierówność dla \(k \ge 0\).
Opuścimy wartość bezwzględną i w rezultacie otrzymamy dwie nierówności już bez modułów. W nierówności występuje znak mniejszości ( \(\le \)) zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "i" ( \(\land \) ).
\[\begin{split}|x+1|&\le k\\x+1\le k\qquad &\land \qquad x+1\ge -k\\x\le k-1\qquad &\land \qquad x\ge -k-1\end{split}\] Zatem dla \(k \ge 0\) rozwiązaniem jest część wspólna dwóch przedziałów: \(x\ge -k-1 \text{ oraz } x\le k-1\). Możemy to równoważnie zapisać w taki sposób: \(x\in \langle -k-1;k-1 \rangle\).
Zatem ostateczna odpowiedź do zadania, to:
\[\begin{cases}x\in \emptyset \quad \text{dla } k<0\\x\in \langle -k-1;k-1 \rangle \quad \text{dla } k\ge 0\end{cases} \]