Rozwiąż nierówność \(|x+1| > k\), gdzie \(k\) - parametr.
Zauważmy na początku, że jeżeli parametr \(k\) jest liczbą ujemną, to podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby \(x\). Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze dodatnia lub równa zero, zatem gdy napiszemy, że ma być większa od czegoś ujemnego, to to będzie na pewno prawda. Można to zobrazować w ten sposób: \[\underbrace{|\text{dowolna liczba}|>\text{liczba ujemna}}_{prawda} \] Zatem dla \(k<0\) rozwiązaniem nierówności jest \(x\in \mathbb{R} \).
Rozwiążemy teraz nierówność dla \(k \ge 0\).
Opuścimy wartość bezwzględną i w rezultacie otrzymamy dwie nierówności już bez modułów. W nierówności występuje znak większości ( \(>\)) zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "lub" ( \(\lor \) ).
\[\begin{split}|x+1|&>k\\x+1>k\qquad &\lor \qquad x+1<-k\\x>k-1\qquad &\lor \qquad x<-k-1\end{split}\] Zatem dla \(k \ge 0\) rozwiązaniem są dwa przedziały: \(x<-k-1 \text{ oraz } x>k-1\). Możemy to równoważnie zapisać w taki sposób: \(x\in (-\infty ;-k-1)\cup (k-1;+\infty )\).
Zatem ostateczna odpowiedź do zadania, to:
\[\begin{cases}x\in \mathbb{R} \quad \text{dla } k<0\\x\in (-\infty ;-k-1)\cup (k-1;+\infty ) \quad \text{dla } k\ge 0\end{cases} \]