Rozwiąż równanie \(|x+3|+|x-3|=6\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+3&\ge 0\\x&\ge -3\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-3 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -3\) | dla \(x\in \langle -3; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+3\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -3\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=6\\-(x+3)-(x-3)&=6\\-x-3-x+3&=6\\-2x&=6\\x&=-3\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które nie należy do rozważanego przedziału \(\langle -\infty ; -3 )\), zatem nie bierzemy tego rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -3; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=6\\(x+3)-(x-3)&=6\\x+3-x+3&=6\\6&=6\\\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie tożsamościowe (prawdziwe dla każdego \(x\)), zatem cały przedział \(x\in \langle -3; 3 )\) jest dobrym rozwiązaniem równania.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=6\\(x+3)+(x-3)&=6\\x+3+x-3&=6\\2x&=6\\x&=3\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które należy do rozważanego przedziału \(\langle 3; +\infty)\), zatem \(x=3\) jest dobrym rozwiązaniem równania.
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymaliśmy rozwiązania: \(x\in \langle -3; 3 ) \text{ oraz } x=3\).
Całą odpowiedź możemy krócej zapisać tak: \(x\in \langle -3; 3 \rangle\)