Rozwiąż równanie \(|x+3|-|x-3|=4\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+3&\ge 0\\x&\ge -3\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-3 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -3\) | dla \(x\in \langle -3; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+3\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -3\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|-|x-3|&=4\\-(x+3)-\left ( -(x-3) \right )&=4\\-x-3+(x-3)&=4\\-x-3+x-3&=4\\-6&=4\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem w tym przedziale nie ma rozwiązań.
- Dla \(x\in \langle -3; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|-|x-3|&=4\\(x+3)-\left ( -(x-3) \right )&=4\\x+3+(x-3)&=4\\x+3+x-3&=4\\2x&=4\\x&=2\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które należy do rozważanego przedziału \(\langle -3; 3 )\), zatem jest to dobre rozwiązanie.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+3|-|x-3|&=4\\(x+3)-(x-3)&=4\\x+3-x+3&=4\\6&=4\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem w tym przedziale nie ma rozwiązań.
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymaliśmy tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=2\).