Rozwiąż równanie \(|x-2|=2-x\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się wartości bezwzględnej.
Abyśmy mogli opuścić moduł, to musimy ustalić kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, a kiedy ujemne. Sprawdzamy: \[\begin{split}x-2&\ge 0\\x&\ge 2\end{split}\] Zatem wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie dla \(x\ge 2\) i w takim przypadku możemy opuścić moduł bez zmiany znaku.
Jeżeli natomiast rozwiązujemy równanie w przedziale \(x\lt 2\), to opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku. Rozpiszmy te dwa przypadki.
- Dla \(x\ge 2\): \[\begin{split}|x-2|&=2-x\\x-2&=2-x\\2x&=4\\x&=2\end{split}\] Rozwiązanie \(x=2\) należy do rozpatrywanego przedziału (\(x\ge 2\)), zatem jest dobrym rozwiązaniem.
- Dla \(x\lt 2\): \[\begin{split}|x-2|&=2-x\\-(x-2)&=2-x\\-x+2&=2-x\\0&=0\\\end{split}\] W tym przypadku otrzymaliśmy równanie tożsamościowe (prawdziwe dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\)), zatem wszystkie liczby z przedziału \(x\lt 2\) są prawidłowymi rozwiązaniami danego równania.
Zatem z 1. i 2. wynika, że rozwiązaniem równania są \(x = 2\text{ oraz } x\in (-\infty ; 2)\).
Całą odpowiedź możemy krócej zapisać tak: \(x\in (-\infty ; 2 \rangle\).