Rozwiąż równanie \(|x+3|+|x-3|=4\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+3&\ge 0\\x&\ge -3\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-3 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -3\) | dla \(x\in \langle -3; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+3\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -3\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=4\\-(x+3)-(x-3)&=4\\-x-3-x+3&=4\\-2x&=4\\x&=-2\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które nie należy do rozważanego przedziału \(\langle -\infty ; -3 )\), zatem nie bierzemy tego rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -3; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=4\\(x+3)-(x-3)&=4\\x+3-x+3&=4\\6&=4\\\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie sprzeczne, zatem w przedziale \(x\in \langle -3; 3 )\) równanie nie ma ani jednego rozwiązania.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=4\\(x+3)+(x-3)&=4\\x+3+x-3&=4\\2x&=4\\x&=2\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które nie należy do rozważanego przedziału \(\langle 3; +\infty)\), zatem \(x=2\) nie jest poprawnym rozwiązaniem.
Ostatecznie w żadnym z punktów 1., 2. oraz 3. nie otrzymaliśmy rozwiązania, zatem całe równanie jest sprzeczne.