Na loterii mamy \(40\%\) losów wygrywających, \(50\%\) losów przegrywających oraz \(10\%\) losów "Graj dalej!" - pozwalających na wyciągnięcie następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
Wprowadźmy oznaczenia:
\(W\) - wygrano na loterii,
\(A\) - wyciągnięto los wygrywający,
\(B\) - wyciągnięto los przegrywający,
\(C\) - wyciągnięto los "Graj dalej!".
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(W\). Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: \[ P(W)=P(W|A)\cdot P(A)+P(W|B)\cdot P(B)+P(W|C)\cdot P(C)=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(W)\cdot \frac{1}{10} \] Zatem mamy: \[\begin{split} P(W)&=1\cdot \frac{4}{10}+0\cdot \frac{5}{10}+P(W)\cdot \frac{1}{10}\\[6pt] P(W)&=\frac{4}{10}+\frac{1}{10}P(W)\\[6pt] P(W)-\frac{1}{10}P(W)&=\frac{4}{10}\\[6pt] \frac{9}{10}P(W)&=\frac{4}{10}\\[6pt] P(W)&=\frac{4}{9} \end{split}\]