Z urny zawierającej \(3\) kule czarne i \(2\) kule białe losujemy kulę, po czym zwracamy ją do urny i dorzucamy jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana. Następnie ponownie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną?
Wprowadźmy oznaczenia:
\(A\) - za drugim razem wyciągnęliśmy kulę czarną,
\(B\) - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą,
\(C\) - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\). Zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: \[ P(A)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|C)\cdot P(C) \] Jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą (zdarzenie \(B\)), to dorzuciliśmy do urny \(2\) kule białe, zatem mieliśmy łącznie 7 kul: \(3\) czarne i \(4\) białe. Czyli: \[P(A|B)=\frac{3}{7}\] Jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną (zdarzenie \(C\)), to dorzuciliśmy do urny \(2\) kule czarne, zatem mieliśmy łącznie 7 kul: \(5\) czarnych i \(2\) białe. Czyli: \[P(A|C)=\frac{5}{7}\] Zatem: \[ P(A)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|C)\cdot P(C)=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5} =\frac{6+15}{7\cdot 5}=\frac{3}{5} \]