Rozwiąż równanie \(\left ( k^2-4 \right )x=k^3+8\), gdzie \(k\) - parametr.
Musimy rozwiązać równanie, czyli wyliczyć \(x\)-a. W tym celu podzielimy równanie stronami przez wyrażenie stojące przed \(x\)-em: \[\begin{split}\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left ( k^2-4 \right )x&=k^3+8\qquad //:\left ( k^2-4 \right )\quad \text{zakładamy, że: }k^2-4\ne 0\\x&=\frac{k^3+8}{k^2-4}\end{split}\] Rozwiązaliśmy już równanie (wyliczyliśmy \(x\)-a) przy założeniu, że \(k^2-4\ne 0\) (przy dzieleniu równania stronami musieliśmy zrobić takie założenie, żeby uniknąć dzielenia przez zero). Zapiszmy prościej nasze założenie: \[\begin{split}k^2-4&\ne 0\\(k-2)(k+2)&\ne 0\\k-2\ne 0\quad &\land \quad k+2\ne 0\\k\ne 2\quad &\land \quad k\ne -2\end{split}\] Teraz musimy sprawdzić te dwa szczególne przypadki, czyli jak będzie wyglądało równanie dla \(k=2\) oraz dla \(k=-2\).
Podstawiamy najpierw \(k=2\): \[\begin{split}\left ( 2^2-4 \right )x&=2^3+8\\0\cdot x&=8+8\\0&=16\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, czyli takie, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista \(x\).
Zatem dla \(k=2\) równanie nie ma rozwiązań.
Teraz sprawdźmy jak będzie wyglądało równanie dla \(k=-2\). Podstawiamy : \[\begin{split}\left ( (-2)^2-4 \right )x&=(-2)^3+8\\0\cdot x&=-8+8\\0&=0\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, czyli takie, które jest zawsze prawdziwe (bez względu na \(x\)-a).
Zatem dla \(k=-2\) rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista.
Wróćmy jeszcze na chwilę do rozwiązania, które otrzymaliśmy przy założeniu, że \(k^2-4\ne 0\). Możemy je uprościć stosując wzór skróconego mnożenia \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\):
\[\begin{split}x&=\frac{k^3+8}{k^2-4}\\x&=\frac{(k+2)(k^2-2k+2^2)}{k^2-4}\\x&=\frac{(k+2)(k^2-2k+4)}{(k+2)(k-2)}\\x&=\frac{k^2-2k+4}{k-2}\end{split}\] Zatem ostateczne rozwiązanie równania, to: \[\begin{cases}x=\frac{k^2-2k+4}{k-2} \quad \text{dla }k\in \mathbb{R}\backslash \left \{ -2, 2 \right \}\\x\in \mathbb{R} \quad \text{dla }k=-2\\x\in \emptyset \quad \text{dla }k=2\end{cases} \]