Musimy rozwiązać równanie, czyli wyliczyć \( x\)-a. W tym celu podzielimy równanie stronami przez wyrażenie stojące przed \( x\)-em: \[ \begin{split} \quad \qquad \qquad \qquad \qquad (k-1)x&=k^2-1\qquad //:(k-1)\quad \text{zakładamy, że: }k\ne 1\\[6pt] x&=\frac{k^2-1}{k-1} \end{split} \] Rozwiązaliśmy już równanie (wyliczyliśmy \( x\)-a), ale przy założeniu, że \( k\ne 1\) (przy dzieleniu równania stronami musieliśmy zrobić takie założenie, żeby uniknąć dzielenia przez zero). Teraz musimy jeszcze sprawdzić jak będzie wyglądało równanie dla \( k=1\). Podstawiamy: \[ \begin{split} (1-1)x&=1^2-1\\[6pt] 0\cdot x&=1-1\\[6pt] 0&=0 \end{split} \] Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, czyli takie, które jest zawsze prawdziwe (bez względu na \( x\)-a). Zatem dla \( k=1\) rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista. \[ \begin{split} x&=\frac{k^2-1}{k-1}\\[6pt] x&=\frac{(k-1)(k+1)}{k-1}\\[6pt] x&=k+1 \end{split} \] Zatem ostateczne rozwiązanie równania, to: \[ \begin{cases} x=k+1 \quad \text{dla }k\ne 1\\ x\in \mathbb{R} \quad \text{dla }k=1 \end{cases} \]