Poziom rozszerzony
Twierdzenie
Jeżeli dla wszystkich lub prawie wszystkich \(n\in \mathbb{N}_+ \) wyrazy ciągów \(a_n\), \(b_n\) i \(c_n\) spełniają warunki: \(a_n\le b_n\le c_n\) oraz \(\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} c_n=g\), to: \[\lim_{n \to \infty} b_n=g\] Oblicz granice ciągu \(a_n=\sqrt[n]{8^n+5^n}\).
Zauważmy, że dla \(n \in \mathbf{N}_{+}\) prawdziwe są nierówności: \[ \sqrt[n]{8^n} \lt \sqrt[n]{8^n+5^n}\lt\sqrt[n]{8^n+8^n}=\sqrt[n]{2 \cdot 8^n} \] Liczymy granice: \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{8^n}=\lim_{n \to \infty} 8=8\] oraz \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 \cdot 8^n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} \cdot 8=1 \cdot 8=8\] Zatem z twierdzenia o trzech ciągach: \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{8^n+5^n}=8\]
Oblicz granice ciągu \(a_n=\sqrt[n]{3\cdot 11^n+17\cdot 10^n}\).
Dla \(n \in \mathbf{N}_{+}\) prawdziwe są nierówności:
\[ \sqrt[n]{11^n} \lt \sqrt[n]{3\cdot 11^n+17\cdot 10^n}\lt\sqrt[n]{3\cdot 11^n+17\cdot 11^n}=\sqrt[n]{20 \cdot 11^n} \]
\[ \!\sqrt[n]{11^n}\!\lt\!\sqrt[n]{3\!\cdot\! 11^n\!\!+\!17\!\cdot\! 10^n}\!\lt\!\sqrt[n]{3\!\cdot\! 11^n\!+\!17\!\cdot\! 11^n}\!=\!\sqrt[n]{20\! \cdot\! 11^n} \]
Liczymy granice: \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{11^n}=\lim_{n \to \infty} 11=11\] oraz \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{20 \cdot 11^n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{20} \cdot 11=1 \cdot 11=11\] Zatem z twierdzenia o trzech ciągach: \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3\cdot 11^n+17\cdot 10^n}=11\]
Oblicz granicę ciągu \(x_n=\sqrt[n]{2\cdot 3^n+5\cdot 7^n}\).
\(7\)
Oblicz granicę ciągu \(x_n=\sqrt[n]{2\cdot 5^n+\sin n}\).
\(5\)
Oblicz granicę ciągu \(x_n=\sqrt[n]{2n+\frac{(-1)^n}{n}}\).
\(1\)
Oblicz granicę ciągu \(x_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n}\).
\(\frac{1}{2}\)