Poziom rozszerzony
Definicja
Szeregiem geometrycznym nazywamy nieskończoną sumę wszystkich kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \((a_n)\), czyli: \[a_1+a_1 q+a_1 q^2+a_1 q^3+\ldots\] o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\). Możemy rozpatrywać również sumy częściowe \(S_n\) pierwszych \(n\) wyrazów: \[S_n=a_1+a_1 q+a_1 q^2+\ldots+a_1 q^{n-1}\] Jeżeli istnieje skończona granica: \[S=\lim_{n \to \infty} S_n\] to liczbę tę nazywamy
sumą szeregu, a sam szereg nazywamy
zbieżnym.
W przeciwnym przypadku szereg nazywamy
rozbieżnym.
Uzasadnij, że szereg geometryczny: \(10+5+\frac{5}{2}+\frac{5}{4}+\ldots\) jest zbieżny, a następnie oblicz jego sumę.
Pierwszy wyraz szeregu, to: \(a_1=10\), a jego iloraz: \(q=\frac{1}{2}\). Zatem możemy zapisać \(n\)-tą sumę częściowa: \[ S_n=\frac{10\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=20\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \] Obliczamy sumę szeregu: \[ S=\lim _{n \to \infty} S_n=\lim _{n \to\infty} 20\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=20 \]
Twierdzenie
Jeżeli iloraz \(|q|\lt1\), to szereg geometryczny \(a_1+a_1 q+a_1 q^2+\ldots\) jest zbieżny i jego suma wyraża się wzorem: \[S=\frac{a_1}{1-q}\] Dla \(|q|\lt1\) mamy: \[\lim_{n \rightarrow \infty} q^n=0\] Zatem: \[S=\lim_{n \rightarrow \infty} S_n=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}\] Dla \(|q|\ge1\) mamy: \[\lim_{n \rightarrow \infty} q^n=0\] Zatem: \[S=\lim_{n \rightarrow \infty} S_n=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}\]
Dla \(|q|\ge 1\) szereg jest rozbieżny.
Oblicz sumę szeregu geometrycznego \(4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+\frac{4}{27}+\ldots\).
Mamy \(a_1=4, q=\frac{1}{3} \in(-1 ; 1)\), zatem suma: \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{2}=6\]
Szereg geometryczny \(4+\frac{20}{3}+\frac{100}{9}+\frac{500}{27}+\ldots\) jest rozbieżny, ponieważ \(q=\frac{5}{3} \notin (-1 ; 1)\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\left(\frac{1}{2x-371}\right )^n\) dla \(n\ge 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.
\(187\)
Pierwszy wyraz \(a_1\) nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\) jest równy \(\sqrt{2}\), natomiast suma pierwszych trzech jego wyrazów jest równa \(\frac{7}{4}\sqrt{2}\). Szereg nieskończony \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny. Oblicz jego sumę.
\(2\sqrt{2}\)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) zbieżny o pierwszym wyrazie dodatnim. Wykaż, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest większa lub równa od czterokrotności trzeciego wyrazu ciągu \((a_n)\).
Funkcja \(f\), której dziedziną jest zbiór \((1,+\infty )\), jest określona wzorem \[f(x)=x+1+\frac{x+1}{x}+\frac{x+1}{x^2}+\frac{x+1}{x^3}+...\] Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(6\).
\(x=2\) oraz \(x=3\)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny \[2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1)^2}-\frac{54x}{(x-1)^3}+\ ...\]
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\). Zapisz obliczenia.
\(x=6\)
Rozwiąż nierówność \(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+...\ge2-x\), gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.
Założenia: \(\left|\frac{1}{x-3}\right|\lt1\)
\(x\in (4;+\infty )\)