Poziom rozszerzony
Dla ciągów mających granicę niewłaściwą \(\infty\) zachodzą następujące własności.
Twierdzenie
Jeśli \(\lim_{n \to \infty} a_n=\infty\) i \(\lim_{n \to \infty} b_n=\infty\), to:
- \(\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=\infty\)
- \(\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\infty\)
Jeśli \(\lim_{n \to \infty} a_n=\infty\) i \(\lim_{n \to \infty} b_n=b\), to:
- \(\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=\infty\)
- \(\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\pm\infty\), dla \(b\ne 0\)
- \(\lim_{n \to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\pm\infty\), dla \(b\ne 0\)
Powyższe twierdzenie można w skrócie zapisać w postaci działań na nieskończonościach:
Działania na nieskończonościach
Zachodzą następujące własności:
- \([\infty+\infty]=\infty\)
- \([\infty\cdot \infty]=\infty\)
- \([\infty\cdot (-\infty)]=-\infty\)
- \([\infty+c]=\infty\)
- \([\infty\cdot c]=\infty\) dla \(c\gt 0\)
- \([\infty\cdot c]=-\infty\) dla \(c\lt 0\)
- \(\left[\frac{\infty}{c}\right]=\infty\) dla \(c\gt 0\)
- \(\left[\frac{\infty}{c}\right]=-\infty\) dla \(c\lt 0\)
Mamy także
wyrażenia nieoznaczone:
- \([\infty-\infty]\)
- \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)
- \([\infty\cdot 0]\)
- \(\left[\frac{0}{0}\right]\)
których nie jesteśmy w stanie określić bez dokładniejszej analizy.
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} 2n^3-10n^2\).
Mamy tutaj wyrażenie nieoznaczone: \[\lim_{n \to \infty} 2n^3-10n^2=[\infty -\infty ]\] które możemy zlikwidować wyciągając \(n^3\) przed nawias:
\[\lim_{n \to \infty} 2n^3-10n^2=\lim_{n \to \infty} n^3\left(2-\frac{10}{n}\right)=[\infty \cdot (2-0) ]=[\infty \cdot 2 ]=\infty\]
\[\begin{split}&\lim_{n \to \infty} 2n^3-10n^2=\lim_{n \to \infty} n^3\left(2-\frac{10}{n}\right)=\\[6pt] &=[\infty \cdot (2-0) ]=[\infty \cdot 2 ]=\infty\end{split}\]
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^4-5 n^2+2}{3 n^2-4}\).
Mamy tutaj wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\), które zlikwidujemy dzieląc licznik i mianownik przez \(n^2\):
\[\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^4-5 n^2+2}{3 n^2-4}=\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^2-5+\frac{2}{n^2}}{3-\frac{4}{n^2}}=\left[\frac{\infty-5+0}{3-0}\right]=\left[\frac{\infty}{3}\right]=\infty\]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^4-5 n^2+2}{3 n^2-4}=\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^2-5+\frac{2}{n^2}}{3-\frac{4}{n^2}}=\\[6pt] &=\left[\frac{\infty-5+0}{3-0}\right]=\left[\frac{\infty}{3}\right]=\infty \end{split}\]
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1+2 n-3 n^2}{5+10 n}\).
Granicę obliczymy dzieląc licznik i mianownik przez \(n\):
\[\lim_{n \to \infty} \frac{1+2 n-3 n^2}{5+10 n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+2-3 n}{\frac{5}{n}+10}=\left[\frac{0+2-\infty}{0+10}\right]=\left[\frac{-\infty}{10}\right]=-\infty \]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{1+2 n-3 n^2}{5+10 n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+2-3 n}{\frac{5}{n}+10}=\\[6pt] &=\left[\frac{0+2-\infty}{0+10}\right]=\left[\frac{-\infty}{10}\right]=-\infty \end{split} \]
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{100n+1}{n^2-1}\).
Granicę obliczymy dzieląc dzieląc licznik i mianownik przez \(n\):
\[\lim_{n \to \infty} \frac{100 n+1}{n^2-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{n \to \infty} \frac{100+\frac{1}{n}}{n-\frac{1}{n}}=\left[\frac{100+0}{\infty-0}\right]=\left[\frac{100}{\infty}\right]=0 \]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{100 n+1}{n^2-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{100+\frac{1}{n}}{n-\frac{1}{n}}=\left[\frac{100+0}{\infty-0}\right]=\left[\frac{100}{\infty}\right]=0 \end{split} \]
Równie dobrze można było podzielić licznik i mianownik przez \(n^2\):
\[\lim_{n \to \infty} \frac{100n+1}{n^2-1}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{100}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}=\left[\frac{0+0}{1-0}\right]=\frac{0}{1}=0 \]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{100n+1}{n^2-1}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{100}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}=\\[6pt] &=\left[\frac{0+0}{1-0}\right]=\frac{0}{1}=0 \end{split} \]
W poniższych przykładach będziemy rozwiązywali granice, które na początku dają symbol nieoznaczony postaci \([\infty \cdot 0]\).
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty}\left(n^3 \cdot \frac{1}{n}\right)\).
\[\lim_{n \to \infty}\left(n^3 \cdot \frac{1}{n}\right)=\left[\infty \cdot 0\right]=\lim_{n \to \infty} n^2=\infty\]
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty}\left(2n \cdot \frac{1}{n^4}\right)\).
\[\lim_{n \to \infty}\left(2n \cdot \frac{1}{n^4}\right)=\left[\infty \cdot 0\right]=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^3}=\left[\frac{1}{\infty}\right]=0 \]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty}\left(2n \cdot \frac{1}{n^4}\right)=\left[\infty \cdot 0\right]=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^3}=\left[\frac{1}{\infty}\right]=0\end{split} \]
Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty}\left(5 n^3 \cdot \frac{1}{2 n^3}\right)\).
\[\lim_{n \to \infty}\left(5 n^3 \cdot \frac{1}{2 n^3}\right)=\left[x \cdot 0\right]=\lim_{n \to \infty} \frac{5}{2}=\frac{5}{2} \]
Twierdzenie
Jeśli dla ciągu \((a_n)\) o wyrazach dodatnich \(\lim_{n \to \infty} a_n=\infty\), to \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n}=\infty\). Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty}\sqrt{\log_2n}\).
Mamy: \[\lim_{n \to \infty}\log_2n = \infty\] Zatem: \[\lim_{n \to \infty}\sqrt{\log_2n}=[\sqrt{\infty}]=\infty\]
Oblicz \(\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+2})\).
Mamy tu do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym typu [ \(\infty-\infty\) ]. Stosujemy wzór skróconego mnożenia, aby przekształcić to wyrażenie do lepszej postaci:
\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+2}) & =\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+2})(\sqrt{n+5}+\sqrt{n+2})}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+2}}= \\[6pt] & =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+5)-(n+2)}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+2}}=\left[\frac{3}{\infty}\right]=0 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+2}) =\\[6pt] & =\lim_{n \to \infty} \frac{(\!\sqrt{n\!+\!5}\!-\!\sqrt{n\!+\!2})(\!\sqrt{n\!+\!5}\!+\!\sqrt{n\!+\!2})}{\sqrt{n\!+\!5}\!+\!\sqrt{n\!+\!2}}\!= \\[6pt] & =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+5)-(n+2)}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+2}}=\\[6pt] & =\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+2}}=\left[\frac{3}{\infty}\right]=0 \end{aligned} \]