Poziom podstawowy
Równaniem wielomianowym nazywamy równanie, które można zapisać w postaci: \[w(x)=0\] gdzie \(w(x)\) jest wielomianem.
Oto przykładowe równania wielomianowe:
\(2x^2 + 6x + 1 = 0\)
\(x^3 + 5x^2 - 2x - 10 = 0\)
\(x^6 + 4x^3 - 2 = 0\)
\(x^5 = 2x^2 + x\)
Żeby rozwiązywać równania wielomianowe trzeba umieć:
Rozwiązywanie równań wielomianowych przydaje się np. podczas wyznaczania miejsc zerowych wielomianu.
Znajdź miejsca zerowe wielomianu \(w(x)=x^4-x^2\).
Miejscami zerowymi wielomianu \(w(x)=x^4-x^2\) są liczby spełniające równanie: \[x^4-x^2=0\] To równanie można rozwiązać wyciągając wspólny czynnik przed nawias: \[ \begin{split} x^4-x^2&=0\\[6pt] x^2(x^2-1)&=0\\[6pt] x^2(x-1)(x+1)&=0\\[6pt] x^2=0\quad \lor \quad x-1=0 &\quad \lor \quad x+1=0\\[6pt] x=0\quad \lor \quad x=1 &\quad \lor \quad x=-1 \end{split} \] Zatem wielomian ma trzy miejsca zerowe: \(x=-1\), \(x=0\) oraz \(x=1\).
Równania wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. równania kwadratowe) rozwiązujemy metodami opisanymi na
tej stronie.
Metoda rozwiązywania równań wielomianowych
- przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania, tak aby po prawej stronie zostało zero,
- rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników (np. metodą wyciągania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania wyrazów),
- przyrównujemy każdy nawias do zera,
- rozwiązujemy kilka prostych równań, otrzymując w rezultacie rozwiązania początkowego równania wielomianowego.
Rozwiąż równanie \(x^3 + 5x^2 = 2x + 10\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^3 + 5x^2 - 2x - 10 = 0\] Rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników - wyciągamy wspólny czynnik przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów oraz z ostatnich dwóch wyrazów: \[\begin{split} x^2(x + 5) - 2(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 2) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz przyrównujemy każdy z nawiasów do zera: \[x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{2} = 0 \quad \lor \quad x + \sqrt{2} = 0\] i otrzymujemy ostatecznie rozwiązania: \[x = -5 \quad \lor \quad x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x = -\sqrt{2}\]
Rozwiąż równanie \(3x^4 = 48\).
W tym równaniu niewiadoma \(x\) występuje tylko w jednym miejscu, zatem liczymy od razu: \[\begin{split} 3x^4 &= 48 \qquad // : 3\\[6pt] x^4 &= 16\\[6pt] x^2 = 4 \quad &\lor \quad x^2 = -4 \end{split}\] Równanie \(x^2=-4\) jest sprzeczne, zatem rozwiązanie to: \[\begin{split} x^2 &= 4\\[6pt] x = 2 \quad &\lor \quad x = -2 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(2x^3+3x^2+4x+6=0\) .
\(x=-\frac{3}{2}\)
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie
\( 5x^4-13=0 \)?
A.\(1 \)
B.\(2 \)
C.\(3 \)
D.\(4 \)
B
Rozwiąż równanie \(2x^3-x^2-6x+3=0\).
\(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=\sqrt{3}\) lub \(x=-\sqrt{3}\)
Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-9x+54=0\).
\(x=-3\), \(x=3\), \(x=6\)
Równanie
\((x+5)(x-3)(x^2+1)=0\) ma:
A.dwa rozwiązania: \( x=-5, x=3 \)
B.dwa rozwiązania: \( x=-3, x=5 \)
C.cztery rozwiązania: \( x=-5, x=-1, x=1, x=3 \)
D.cztery rozwiązania: \( x=-3, x=-1, x=1, x=5 \)
A
Liczba wszystkich rozwiązań równania
\((2x-3)(x^2-x)=0\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 3 \)
D
Rozwiąż równanie \(x^3-12x^2+x-12=0.\)
\(x=12\)
Rozwiąż równanie \(2x^3-16x^2-8x+64=0.\)
\(x=-2\) lub \(x=2\) lub \(x=8\)
Rozwiąż równanie \(4x^4-9x^2=0.\)
\(x=-\frac{3}{2}\) lub \(x=0\) lub \(x=\frac{3}{2}\)
Liczba rzeczywistych rozwiązań równania
\((x+1)(x+2)(x^2+3)=0\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 4 \)
C
Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-8x-16=0\).
\(x=-2\) lub \(x=2\sqrt{2}\) lub \(x=-2\sqrt{2}\)
Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-12x+72=0\).
\(x=6\) lub \(x=2\sqrt{3}\) lub \(x=-2\sqrt{3}\)
Rozwiąż równanie \(3x^3-4x^2-3x+4=0\).
\(x=-1\) lub \(x=1\) lub \(x=\frac{4}{3}\)
Liczba pierwiastków wielomianu \( W(x)=x^3-3x^2+4x-12\ \) jest równa:
A.\(3 \)
B.\(2 \)
C.\(1 \)
D.\(0 \)
C
Suma odwrotności pierwiastków wielomianu
\(W(x)=4x^3-x^2-4x+1\) jest równa
A.\( 4 \)
B.\( -0{,}25 \)
C.\( 6 \)
D.\( -4 \)
A
Rozwiąż równanie \( 9x^3+18x^2-4x-8=0 \).
\(x=-2\) lub \(x=\frac{2}{3}\) lub \(x=-\frac{2}{3}\)
Rozwiąż równanie \( x^3-6x^2-11x+66=0 \).
\(x=6\) lub \(x=\sqrt{11}\) lub \(x=-\sqrt{11}\)
Rozwiązaniami równania
\((x^3−8)(x−5)(2x+1)=0\) są liczby
A.\( -8;-5;1 \)
B.\( -1;5;8 \)
C.\( -\frac{1}{2};2;5 \)
D.\( -\frac{1}{2};5;8 \)
C
Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa
A.\( 21 \)
B.\( -1 \)
C.\( -21 \)
D.\( 1 \)
D
Rozwiąż równanie \(4x^3+4x^2-x-1=0\).
\(x=-1\) lub \(x=-\frac{1}{2}\) lub \(x=\frac{1}{2}\)
Rozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest
A.\( -9 \)
B.\( -2 \)
C.\( 2 \)
D.\( 7 \)
B
Rozwiąż równanie \(8x^3 +8x^2 −3x − 3 = 0\).
\(x=-1\) lub \(x=\frac{\sqrt{6}}{4}\) lub \(x=-\frac{\sqrt{6}}{4}\)