Poziom podstawowy
Równanie kwadratowe - to równanie, które można zapisać w postaci: \[ax^2+bx+c=0\] gdzie \(a, b, c \in \mathbb{R} \) i \(a\ne 0\).
Metoda rozwiązania
Każde równanie kwadratowe można rozwiązać obliczając deltę: \[\Delta =b^2-4ac\]
Jeśli \(\Delta \gt 0\), to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \] Jeśli \(\Delta =0\), to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie: \[ x=\frac{-b}{2a} \] Jeśli \(\Delta \lt 0\), to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.
W równaniach liniowych niewiadoma \(x\) występuje zawsze w pierwszej potędze.
W przypadku równań kwadratowych niewiadoma \(x\) pojawia się w drugiej potędze, czyli \(x^2\) (czytamy: iks kwadrat).
Rozwiąż równanie kwadratowe \(x^2+2x-3=0\).
Współczynniki liczbowe naszego równania to: \[a=1\qquad b=2\qquad c=-3\] Na początku liczymy deltę: \[\Delta =b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\] Delta wyszła dodatnia, zatem równanie ma dwa rozwiązania: \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \] oraz \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1 \] Zatem równanie \(x^2+2x-3=0\) ma dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=1\).
Rozwiąż równanie kwadratowe \(2x^2+8x-10=0\).
\(x=-5\) lub \(x=1\)
Rozwiąż równanie kwadratowe \(-x^2+2x=-3\).
\(x=-1\) lub \(x=3\)
Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie
\( x^2+5x+6=0 \) jest
A.\(-6 \)
B.\(-3 \)
C.\(-2 \)
D.\(-1 \)
B
Większa z liczb spełniających równanie
\(x^2 + 6x + 8 = 0\) to
A.\( 2 \)
B.\( 4 \)
C.\( -2 \)
D.\( -4 \)
C
Która z liczb jest rozwiązaniem równania
\(2x^2-7x=-30-2x(1-x)\)?
A.\( 5 \)
B.\( -5 \)
C.\( 6 \)
D.\( -1 \)
C
Rozwiąż równanie \(x^2+6x+7=0\).
\(x=-3-\sqrt{2}\) lub \(x=-3+\sqrt{2}\)
Równanie
\((2x-1)\cdot (x-2)=(1-2x)\cdot (x+2)\) ma dwa rozwiązania. Są to liczby
A.\( -2 \) oraz \(\frac{1}{2}\)
B.\( 0 \) oraz \(\frac{1}{2}\)
C.\( \frac{1}{2} \) oraz \(2\)
D.\( -2 \) oraz \(2\)
B
Rozwiąż równanie \(\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4\), dla \(x\ne 1\).
\(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=2\)
Liczby \(x_1, x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania
\(x^2-7=0\). Wtedy wyrażenie \(|x_1-x_2|\) jest równe
A.\( 0 \)
B.\( \sqrt{7} \)
C.\( -\sqrt{7} \)
D.\( 2\sqrt{7} \)
D
Liczby \(x_1, x_2\) są rozwiązaniami równania \(4(x + 2)(x - 6) = 0\) . Suma \({x_1}^2 + {x_2}^2\) jest równa
A.\( 16 \)
B.\( 32 \)
C.\( 40 \)
D.\( 48 \)
C
Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są rozwiązaniami równania \(x^2 - 9 = 0\). Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{x_1+x_2}{2}\).
\(0\)
Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są rozwiązaniami równania \((x + 1)(2 - x) = 0\). Oblicz \({x_1}^2+x_1x_2+{x_2}^2\).
\(3\)
W tym nagraniu wideo pokazuję metodę rozwiązywania równań kwadratowych w 3 sekundy!
Czas filmu: 8 minut.