Poziom rozszerzony
Równanie dwukwadratowe, czyli: \[ax^4+bx^2+c=0\] gdzie: \(a,b,c\in \mathbb{R} \) oraz \(a\ne 0\), można przekształcić do równania kwadratowego, podstawiając: \[t=x^2 \quad (\text{gdzie } t\ge 0)\] Wówczas: \[x^4=(x^2)^2 = t^2\] Wykorzystując nową niewiadomą \(t\), początkowe równanie można zapisać w postaci: \[at^2+bt+c=0\] Jeżeli nowe równanie będzie miało np. dwa dodatnie rozwiązania: \(t_1\) oraz \(t_2\), to rozwiązania początkowego równania wyliczymy z równań: \[x^2=t_1\quad \lor \quad x^2=t_2\]
Rozwiąż równanie \(x^4-3x^2+2=0\).
Podstawiamy \(t=x^2\) (zakładając jednocześnie, że \(t\ge 0\)): \[t^2-3t+2=0\] Rozwiązujemy równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą \(t\): \[\Delta =(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1\] Delta jest dodatnia, zetem mamy dwa rozwiązania: \[ \begin{split} t_1&=\frac{3-1}{2}=1\\[6pt] t_2&=\frac{3+1}{2}=2 \end{split} \] Oba rozwiązania są dodatnie, zatem mamy: \[\begin{split} x^2=1 \qquad &\lor \qquad x^2=2\\[6pt] x=-1 \quad \lor \quad x=1 \quad &\lor \quad x=-\sqrt{2} \quad \lor \quad x=\sqrt{2} \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^4+5x^2-14=0\).
Podstawiamy \(t=x^2\) (zakładamy, że \(t\ge 0\)): \[t^2+5t-14=0\] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot (-14)=25+56=81\] Delta jest dodatnia, zetem mamy dwa rozwiązania: \[ \begin{split} t_1&=\frac{-5-9}{2}=-7\\[6pt] t_2&=\frac{-5+9}{2}=2 \end{split} \] Tylko rozwiązanie \(t_2\) spełnia założenia (\(t\ge 0)\), zatem mamy rozwiązanie: \[\begin{split} x^2&=2\\[6pt] x=\sqrt{2} \quad &\lor \quad x=-\sqrt{2} \end{split}\] Rozwiązanie \(t_1=-7\) nie spełnia założeń, ale gdybyśmy je podstawili i spróbowali rozwiązać, to i tak otrzymalibyśmy równanie sprzeczne: \[x^2=-7\] Początkowe równanie ma zatem dwa rozwiązania: \(x=-\sqrt{2}\) oraz \(x=\sqrt{2}\).
W tym filmiku pokazuję jak wybrane typy równań można sprowadzić do równań kwadratowych.
Metody prezentuję na następujących przykładach:
\(x^4+6x^2-7=0\)
\(2(x+3)+\sqrt{x+3}-1=0\)
\(2x=5\sqrt{x-2}+2\)
\(1-2\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}=0\)
\(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}=0\)