Poziom podstawowy
I typ równań kwadratowych
Najprostsze są równania kwadratowe, które można zapisać w postaci: \[\color{Red}{x^2=a} \] gdzie \(a\) - to dowolna liczba rzeczywista.
W zależności od liczby \(a\), równanie może mieć różną liczbę rozwiązań.
- Jeżeli \(a>0\), to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\sqrt{a}\) oraz \(x=-\sqrt{a}\).
- Jeżeli \(a=0\), to równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\).
- Jeżeli \(a<0\), to równanie nie ma rozwiązań.
Rozwiąż równanie \(x^2=9\).
Po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania.
Wyciągamy pierwiastek z liczby \(9\) otrzymując rozwiązania: \[\begin{split} x^2&=9\\[6pt] x=3 \quad &\text{ lub }\quad x=-3 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2 = 64\).
Po prawej stronie mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania.
Wyciągamy pierwiastek z liczby \(64\) otrzymując rozwiązania: \[\begin{split} x^2&=64\\[6pt] x=8 \quad &\text{ lub }\quad x=-8 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2=5\).
Podobnie jak w poprzednich przykładach po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem będą dwa rozwiązania. \[\begin{split} x^2&=5\\[6pt] x=\sqrt{5} \quad &\text{ lub }\quad x=-\sqrt{5} \end{split}\] W tym przypadku pierwiastek z \(5\) jest liczbą niewymierną, dlatego rozwiązania zostawiamy w takiej postaci jak powyżej.
Rozwiąż równanie \(x^2- 3 = 1\).
To równanie wydaje się inne od poprzednich, jednak w rzeczywistości daje się łatwo przekształcić do postaci \(x^2=a\). Przenosimy po prostu liczbę \(-3\) na prawą stronę: \[\begin{split} x^2-3&=1\\[6pt] x^2&=1+3\\[6pt] x^2&=4\\[6pt] x=2 \quad &\text{ lub }\quad x=-2 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(10+x^2=11\).
Na początku przenosimy liczbę \(10\) na prawą stronę (żeby po lewej stronie zostało samo \(x^2\)). \[\begin{split} 10+x^2&=11\\[6pt] x^2&=11-10\\[6pt] x^2&=1\\[6pt] x=1 \quad &\text{ lub }\quad x=-1 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(3x^2+4=0\).
Przekształcamy podane równanie tak, żeby po lewej stronie otrzymać tylko \(x^2\), a po prawej stronie liczbę: \[\begin{split} 3x^2+4&=0\\[6pt] 3x^2&=-4\\[6pt] x^2&=-\frac{4}{3}\\[6pt] \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ żadna liczba rzeczywista \(x\) podniesiona do kwadratu nie da liczby ujemnej.
Zatem równanie \(3x^2+4=0\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiąż równanie \(2\cdot (11-x^2)=18\).
Na początku możemy podzielić równanie stronami przez 2: \[\begin{split} \qquad 2?(11 - x^2) &= 18\qquad /:2 \\[6pt] 11 - x^2 &= 9 \end{split}\] Kontynuujemy przekształcenia i doprowadzamy równanie do postaci \(x^2=a\): \[\begin{split} 11 - x^2 &= 9\\[6pt] -x^2 &= 9-11\\[6pt] \qquad -x^2 &= -2\qquad /\cdot (-1)\\[6pt] x^2 &= 2\\[6pt] x=\sqrt{2} \quad &\text{ lub }\quad x=-\sqrt{2} \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(3\cdot (x^2+1)-1=2\).
Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci \(x^2=a\): \[\begin{split} 3\cdot (x^2+1)-1=2\\[6pt] 3x^2+3-1=2\\[6pt] 3x^2+2=2\\[6pt] 3x^2=0\\[6pt] x^2=0\\[6pt] x=0 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(1=2x^2+7\).
Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci \(x^2=a\): \[\begin{split} 1&=2x^2+7\\[6pt] -2x^2&=7-1\\[6pt] -2x^2&=6\\[6pt] x^2&=-3\\[6pt] &\text{równanie sprzeczne} \end{split}\] To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni (nie można uzyskać liczby ujemnej \(-3\)).
II typ równań kwadratowych
Kolejny typ równań kwadratowych, które można łatwo rozwiązać, to: \[\color{Red}{x^2+ax=0} \] gdzie \(a\) - to dowolna liczba rzeczywista.
Równania tego typu można rozwiązać rozkładając lewą stronę na iloczyn czynników (wyciągając przed nawias \(x\)). \[\begin{split} x^2+ax&=0 \\[6pt] x(x+a)&=0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x+a=0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=-a\\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2+x=0\).
Wyciągamy wspólny czynnik (\(x\)) przed nawias: \[\begin{split} x^2 + x &= 0\\[6pt] x(x+1) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(x+1) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x+1=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=-1 \\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2-2x=0\).
Wyciągamy wspólny czynnik (\(x\)) przed nawias: \[\begin{split} x^2-2x &= 0\\[6pt] x(x-2) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(x-2) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x-2=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=2 \\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2=x\).
Przenosimy \(x\) z prawej strony równania na lewą, a następnie wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[\begin{split} x^2&=x\\[6pt] x^2-x&=0\\[6pt] x(x-1)&=0\\[6pt] x=0 \quad &\lor\quad x-1=0\\[6pt] x=0 \quad &\lor\quad x=1 \end{split}\] Zatem równanie \(x^2=x\) ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Rozwiąż równanie \(x^2=7x\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[\begin{split} x^2&=7x\\[6pt] x^2 -7x &= 0\\[6pt] x(x-7) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(x-7) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x-7=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=7 \\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(12x=3x^2\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[\begin{split} 12x&=3x^2\\[6pt] 12x-3x^2 &= 0\qquad /:3\\[6pt] 4x-x^2&=0\\[6pt] x(4-x) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(4-x) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad 4-x=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=4 \\[6pt] \end{split}\]
III typ równań kwadratowych
Kolejny rodzaj prostego równania kwadratowego, to: \[\color{Red}{(x-a)(x-b)=0} \] gdzie \(a\), \(b\) - to dowolne liczby rzeczywiste.
Równania tego typu rozwiązuje się bez liczenia.
Wystarczy znać zasadę, o której powiedzieliśmy sobie przy omawianiu poprzedniego typu.
Zasada ta mówi, że iloczyn dwóch nawiasów (czynników) może być równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero.
Żeby zatem rozwiązać równanie tego typu, to wystarczy przyrównać oba nawiasy do zera i sprawdzić kiedy (dla jakich \(x\)-ów) zeruje się każdy z nich. \[\begin{split} (x-a)(x-b)&=0\\[6pt] x-a=0 \quad &\text{ lub }\quad x-b=0\\[6pt] x=a \quad &\text{ lub }\quad x=b \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-2)(x-5)=0\).
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania, przyrównując każdy z nawiasów do zera: \[\begin{split} (x-2)(x-5)&=0\\[6pt] x-2=0 \quad &\text{ lub }\quad x-5=0\\[6pt] x=2 \quad &\text{ lub }\quad x=5 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-13)(x-\sqrt{2})=0\).
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania, przyrównując każdy z nawiasów do zera: \[\begin{split} (x-13)(x-\sqrt{2})&=0\\[6pt] x-13=0 \quad &\text{ lub }\quad x-\sqrt{2}=0\\[6pt] x=13 \quad &\text{ lub }\quad x=\sqrt{2} \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(5(x-3)(x+4)=0\).
Możemy na początku podzielić równanie stronami przez \(5\). Nie jest to jednak konieczne, ponieważ po lewej stronie mamy już iloczyn (tym razem trzech czynników), który ma szanse się wyzerować tylko wtedy, gdy pierwszy lub drugi nawias będzie równy zero. \[\begin{split} 5(x-3)(x+4)&=0\\[6pt] x-3=0 \quad &\text{ lub }\quad x+4=0\\[6pt] x=3 \quad &\text{ lub }\quad x=-4 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((6x-18)(10x-5)=0\).
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera: \[\begin{split} (6x-18)(10x-5)&=0\\[6pt] 6x-18=0 \quad &\text{ lub }\quad 10x-5=0\\[6pt] 6x=18 \quad &\text{ lub }\quad 10x=5\\[6pt] x=3 \quad &\text{ lub }\quad x=\frac{1}{2} \end{split}\]
IV typ równań kwadratowych
Kolejny typ prostego równania kwadratowego, to: \[\color{Red}{(x-a)^2=0} \] gdzie \(a\) - to dowolna liczba rzeczywista.
Ten typ równania kwadratowego jest szczególnym przypadkiem (wcześniej omawianej) klasycznej postaci iloczynowej. Łatwo można go do takiej postaci przekształcić: \[\begin{split} (x-a)^2&=0\\[6pt] (x-a)(x-a)&=0 \end{split}\] W takim przypadku nie ma potrzeby przyrównywać do zera obu nawiasów (bo są identyczne). Piszemy po prostu: \[\begin{split} (x-a)^2&=0\\[6pt] x-a&=0\\[6pt] x&=a \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-1)^2=0\).
Przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (x-1)^2&=0\\[6pt] x-1&=0\\[6pt] x&=1 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x+17)^2=0\).
Przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (x+17)^2&=0\\[6pt] x+17&=0\\[6pt] x&=-17 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((2x-6)^2=0\).
Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (2x-6)^2&=0\\[6pt] 2x-6&=0\\[6pt] 2x&=6\\[6pt] x&=3 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-\sqrt{5})^2=0\).
Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (x-\sqrt{5})^2&=0\\[6pt] x-\sqrt{5}&=0\\[6pt] x&=\sqrt{5} \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2+8x+16=0\).
Stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\] do lewej strony równania: \[\begin{split} x^2+8x+16&=0\\[6pt] (x+4)^2&=0\\[6pt] x+4&=0\\[6pt] x&=-4 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2+6x=-9\).
Przenosimy liczbę \(-9\) z prawej strony równania na lewą, a następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[\begin{split} x^2+6x&=-9\\[6pt] x^2+6x+9&=0\\[6pt] (x+3)^2&=0\\[6pt] x+3&=0\\[6pt] x&=-3 \end{split}\]