Poziom podstawowy
Definicja
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to: \[ f(x)=a(x-p)^2+q \] gdzie \(a, p, q \in \mathbb{R} \) i \(a \ne 0\). Współczynniki \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka \(W\) paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej, czyli: \[W = (p, q)\]
Współczynnik \(a\) pozwala określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (gdy \(a > 0\)), czy do dołu (gdy \(a < 0\)).
Wzory na współrzędne wierzchołka
Dla funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\) można obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli, ze wzorów: \[ p=\frac{-b}{2a} \quad \text{oraz} \quad q=\frac{-\Delta }{4a} \] Przedstaw funkcję kwadratową \(f(x)=x^2-6x+11\) w postaci kanonicznej. Wyznacz wierzchołek i równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji kwadratowej.
Współczynniki liczbowe tej funkcji to: \[a=1, \quad b=-6, \quad c=11\] Liczymy deltę:
\(\Delta =b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 11\ \)\(=36-44=-8\)
Liczymy współrzędne wierzchołka \(W=(p,q)\): \[p=\frac{-b}{2a}=\frac{6)}{2\cdot 1}=3\] oraz \[q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{8}{4\cdot 1}=2\] Zatem: \[W=(3, 2)\] Oś symetrii paraboli, to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek \(W\) paraboli, zatem ma równanie: \[x=3\]
Podaj zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji \(f\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem. Naszkicuj tę parabolę.
\(f(x)=(x-2)^2+3\)
\(f(x)=-(x+3)^2-1\)
\(f(x)=\frac{1}{4}(x+3)^2-4\)
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem
\(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych
A.\( (0,2) \)
B.\( (0,-2) \)
C.\( (-2,0) \)
D.\( (2,0) \)
D
Wykresem funkcji kwadratowej
\(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie
A.\( (3,0) \)
B.\( (0,3) \)
C.\( (-3,0) \)
D.\( (0,-3) \)
B
Dana jest parabola o równaniu
\(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
A.\( x=-8 \)
B.\( x=-4 \)
C.\( x=4 \)
D.\( x=8 \)
B
Iloczyn liczb spełniających równanie \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0\) jest równy
A.\( 6 \)
B.\( -5 \)
C.\( 5 \)
D.\( -6 \)
D
Funkcja kwadratowa \(y=x^2+bx+c\) jest malejąca dla \(x\in (-\infty ;2 \rangle\) a zbiorem jej wartości jest przedział \(\langle -4;\infty )\). Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem
A.\( f(x)=(x-2)^2-4 \)
B.\( f(x)=(x+2)^2+4 \)
C.\( f(x)=(x+4)^2+2 \)
D.\( f(x)=(x-4)^2+2 \)
A
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \).
A.\(f(x)=-(x-2)^2+3 \)
B.\(f(x)=(2-x)^2+3 \)
C.\(f(x)=-(x+2)^2-3 \)
D.\(f(x)=(2-x)^2-3 \)
A
Wykres funkcji kwadratowej
\( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
A.\(y=1 \)
B.\(y=-1 \)
C.\(y=-3 \)
D.\(y=-5 \)
D
Prosta o równaniu
\( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej
\( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że
A.\(a=3 \)
B.\(a=0 \)
C.\(a=-1 \)
D.\(a=-3 \)
C
Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych
A.\( (-2, -4) \)
B.\( (-2, 4) \)
C.\( (2, -4) \)
D.\( (2, 4) \)
D
Wierzchołek paraboli o równaniu
\(y=(x+1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu
\(y=6\). Wtedy
A.\( c=-6 \)
B.\( c=-3 \)
C.\( c=3 \)
D.\( c=6 \)
C
Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \( y=x^2 -2x-3 \) leży na prostej:
A.\(y=-4 \)
B.\(y=4 \)
C.\(y=1 \)
D.\(y=2 \)
A
Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=2x^2+bx+c \) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \( W=(4,0) \). Oblicz wartości współczynników \( b \) i \( c \).
\(b=-16\), \(c=32\)
Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
A.\( y=2\cdot (x+3)^2+5 \)
B.\( y=-2\cdot (x-3)^2+5 \)
C.\( y=-2\cdot (x+3)^2+5 \)
D.\( y=-2\cdot (x-3)^2-5 \)
C
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku \(W = (5,7)\). Wówczas prawdziwa jest równość
A.\( f(1)=f(9) \)
B.\( f(1)=f(11) \)
C.\( f(1)=f(13) \)
D.\( f(1)=f(15) \)
A
Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+4x+1\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej o równaniu \(y=-5\). Oblicz współrzędne tego wierzchołka.
\((-3,-5)\)