Rozkład wielomianu na czynniki
Poziom podstawowy
Rozkładem wielomianu na czynniki nazywamy zapisanie jego wzoru w postaci iloczynu wielomianów.
Taki sposób zapisu wielomianu nazywamy postacią iloczynową.
Taki sposób zapisu wielomianu nazywamy postacią iloczynową.
Metody rozkładania na czynniki
- wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias,
- wzory skróconego mnożenia: \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\[6pt] (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\[6pt] a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\[6pt] a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\[6pt] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\[6pt] (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[6pt] (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
- wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego \(ax^2+b x+c\):
Liczymy deltę: \[\Delta =b^2-4ac\] Jeżeli \(\Delta\gt 0\), to \[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \quad \text{i} \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}\] i wówczas \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\] Jeżeli \(\Delta= 0\), to jest dokładnie jedno rozwiązanie (miejsce zerowe): \[x_1=x_2=-\frac{b}{2 a}\] i wtedy: \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\] Jeżeli \(\Delta \lt 0\), to nie istnieje rozkład na czynniki. - grupowanie wyrazów.
Rozłóż wielomian \(W(x) = x^2 - 7x\) na czynniki.
Wyciągamy wspólny czynnik \(x\) przed nawias: \[W(x) = x^2 - 7x = x(x - 7)\]
Rozłóż wielomian \(W(x) = 7x^3 + 21x\) na czynniki.
Wyciągamy wspólny czynnik \(7x\) przed nawias: \[W(x) = 7x^3 + 21x = 7x(x^2 + 3)\]
Rozłóż wielomian \(W(x) = 4x^3 + 6x^2\) na czynniki.
Wyciągamy wspólny czynnik \(2x^2\) przed nawias: \[W(x) = 4x^3 + 6x^2 = 2x^2(2x + 3)\] Uwaga! Jeżeli chcemy upewnić się, że dobrze wyciągnęliśmy wspólny czynnik przed nawias, to wystarczy, że wymnożymy czynniki, np.: \[W(x) = 2x^2(2x + 3) = 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot 3 = 4x^3 + 6x^2\]
Rozłóż wielomian \(W(x) = 9x^3 - 3x^2 + 18x\) na czynniki.
Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[W(x) = 9x^3 - 3x^2 + 18x = 3x(3x^2 - x + 6)\] Dla trójmianu kwadratowego \(3x^2 - x + 6\) liczymy deltę: \[\Delta = (-1)^2-4\cdot 3\cdot 6=-71\] Delta jest ujemna, czyli trójmian \(3x^2 - x + 6\) nie ma postaci iloczynowej. Zatem najlepszy rozkład na iloczyn czynników, to: \[W(x) = 3x(3x^2 - x + 6)\]
Zapisz wielomian \(W(x) = x^2 - 4\) w postaci iloczynowej.
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\] Możemy zapisać, że: \[W(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\]
Podobne przykłady do poprzedniego: \[w(x) = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\] \[p(x) = x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\] \[f(x) = 9x^2 - \frac{1}{4}= (3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})\] \[g(x) = 5x^2 - 2= (\sqrt{5}x-\sqrt{2})(\sqrt{5}x+\sqrt{2})\]
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = x^2 + 6x + 9\).
Stosujemy wzór \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[W(x) = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\]
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = x^2 - 10x + 25\).
Stosujemy wzór \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\): \[W(x) = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\]
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = x^3 - 27\).
Stosujemy wzór \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\): \[W(x) = x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\]
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = x^3 - 16x\).
Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[W(x) = x^3 - 16x = x(x^2 - 16)\] Teraz do wyrażenia w nawiasie stosujemy wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[W(x) = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)\]
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = 4x^4 - 36x^2\).
Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[W(x) = 4x^4 - 36x^2 = 4x^2(x^2 - 9)\] Teraz stosujemy wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[W(x) = 4x^2(x^2 - 9) = 4x^2(x - 3)(x + 3)\]
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = x^2 - x - 6\).
Zacznijmy od wypisania współczynników \(a\), \(b\), \(c\):
\[\begin{split}&a = 1\\[6pt] &b = -1\\[6pt] &c = -6\end{split}\]
Teraz liczymy deltę: \[\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] Delta wyszła większa od zera, zatem mamy dwa miejsca zerowe: \[\begin{split} x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-5}{2}=-2\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1+5}{2}=3 \end{split}\] Zapisujemy postać iloczynową: \[W(x) = 1\cdot (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)\] Metoda grupowania wyrazów
Metodę grupowania wyrazów stosujemy najczęściej do rozkładania na czynniki wielomianów stopnia trzeciego i wyższych.
Jeżeli we wzorze wielomianu występują \(4\) wyrazy, to możemy wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias tylko z pierwszych dwóch wyrazów, a następnie wspólny czynnik z wyrazu trzeciego i czwartego. Spójrzmy na poniższy przykład: 
W tym przykładzie zgrupowaliśmy pierwszy wyraz z drugim, a trzeci z czwartym. Następnie w ramach każdej grupy wyciągnęliśmy wspólny czynnik przed nawias.Z pierwszych dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias wspólny czynnik \(x^2\), a z ostatnich dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias liczbę \(2\). Dzięki temu, że w obu nawiasach pojawiło się to samo wyrażenie \(x + 4\), tp można teraz wyciągnąć cały taki nawias przed nawias:
W ten sposób rozłożyliśmy wielomian trzeciego stopnia na iloczyn czynników. Wyrażenia \((x^2 + 2)\) nie da się rozłożyć, ponieważ delta dla niego wychodzi ujemna. Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = 5x^3 + 10x^2 + 2x + 4\).
Grupujemy pierwszy wyraz z drugim, a trzeci z czwartym: \[\begin{split} W(x) &= 5x^3 + 10x^2 + 2x + 4 =\\[6pt] &=5x^2(x + 2) + 2(x + 2) = \\[6pt] &=(x + 2)(5x^2 + 2)\end{split}\] Z pierwszych dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias wspólny czynnik \(5x^2\).
Z ostatnich dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias liczbę \(2\).
W obu nawiasach otrzymaliśmy to samo wyrażenie \((x + 2)\), które następnie wyciągnęliśmy przed nawias. Ostatecznie otrzymaliśmy postać iloczynową wielomianu: \[W(x) = (x + 2)(5x^2 + 2)\] Uwaga! Należy jeszcze upewnić się, czy drugiego nawiasu nie da się rozłożyć na czynniki \(1\)-szego stopnia. Liczymy w tym celu deltę: \[\Delta = 0^2 - 4\cdot 5\cdot 2 = -40 \lt 0\] Delta wyszła ujemna, czyli nie istnieje rozkład nawiasu \((5x^2 + 2)\) na czynniki pierwszego stopnia.
Z ostatnich dwóch wyrazów wyciągnęliśmy przed nawias liczbę \(2\).
W obu nawiasach otrzymaliśmy to samo wyrażenie \((x + 2)\), które następnie wyciągnęliśmy przed nawias. Ostatecznie otrzymaliśmy postać iloczynową wielomianu: \[W(x) = (x + 2)(5x^2 + 2)\] Uwaga! Należy jeszcze upewnić się, czy drugiego nawiasu nie da się rozłożyć na czynniki \(1\)-szego stopnia. Liczymy w tym celu deltę: \[\Delta = 0^2 - 4\cdot 5\cdot 2 = -40 \lt 0\] Delta wyszła ujemna, czyli nie istnieje rozkład nawiasu \((5x^2 + 2)\) na czynniki pierwszego stopnia.
Rozłóż na czynniki wielomian \(W(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18\).
Grupujemy pierwszy wyraz z drugim, a trzeci z czwartym: \[\begin{split} W(x) &= x^3 + 2x^2 - 9x - 18 =\\[6pt] &=x^2(x + 2) - 9(x + 2) =\\[6pt] &= (x + 2)(x^2 - 9) = \\[6pt] &=(x + 2)(x - 3)(x + 3) \end{split}\] W tym przykładzie drugi nawias można było rozłożyć na iloczyn czynników liniowych stosując wzór skróconego mnożenia. Ostatecznie otrzymaliśmy postać iloczynową wielomianu: \[W(x) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)\]
W tym nagraniu wideo pokazuję na jak rozkładać wielomiany na iloczyn czynników.
Wielomian \(W(x)=x^6+x^3-2\) jest równy iloczynowi
A.\( (x^3+1)(x^2-2) \)
B.\( (x^3-1)(x^3+2) \)
C.\( (x^2+2)(x^4-1) \)
D.\( (x^4-2)(x+1) \)
Wielomian \(4x^2 - 100\) jest równy
A.\( (2x-10)^2 \)
B.\( (2x-10)(2x+10) \)
C.\( 4(x-10)^2 \)
D.\( 4(x-10)(x+10) \)
Rozłóż wielomian \(W(x)=x^4+5x^2-x^3-5x\) na czynniki możliwie najniższego stopnia.
Rozkładając wielomian \(W(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18\) na czynniki liniowe otrzymamy wielomian
A.\( (x+2)(x-3)(x+3) \)
B.\( (x+3)(x-2)(x-3) \)
C.\( (x-2)(x-3)(x+2) \)
D.\( (x+2)(x+3)(x-2) \)
Wielomian \(W(x) = x^3 + 7x^2 - 2x - 14\) po rozłożeniu na czynniki ma postać
A.\( W(x)=(x^2+2)(x+7) \)
B.\( W(x)=(x+7)(x+2)(x-2) \)
C.\( W(x)=(x+7)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \)
D.\( W(x)=(x-7)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \)
Rozkład wielomianu \(W(x) = x^3 - 2x^2 - 16x + 32\) na czynniki liniowe to
A.\( (x-4)(x-4)(x-2) \)
B.\( (x-4)(x-2)(x+4) \)
C.\( (x+4)(x+2)(x+4) \)
D.\( (x-4)(x+4)(x+2) \)
Przedstawieniem wyrażenia \(4 - x^2 + 2xy - y^2\) w postaci iloczynu jest
A.\( ((x-y)-2)((x-y)+2) \)
B.\( ((x-y)-2)^2 \)
C.\( -((x-y)-2)((x-y)+2) \)
D.\( ((x-y)+2)^2 \)
Wielomian \(W(x)=x^3-2x^2-4x+8\) po rozłożeniu na czynniki ma postać wyrażenia:
A.\( x^2(x-2) \)
B.\( x^2(x-4) \)
C.\( (x+2)(x-2)^2 \)
D.\( (x-2)(x+2)^2 \)
Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia, wielomian: \(x^3+2x^2-9x-18\).
Wielomian \(W(x)\) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba \(-1\). Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:
A.\( -2(x-1)^2(x^2+1) \)
B.\( (x+1)^2(x-4) \)
C.\( -(x+1)^2(x^2+3) \)
D.\( (x-1)(x+1)(x+2)(x-3) \)
Wyrażenie \(x^2-xy-2y+2x\) rozłożone na czynniki ma postać
A.\( (x-y)(x+2) \)
B.\( (x-y)(x-2) \)
C.\( (x+y)(x+2) \)
D.\( (x+y)(x-2) \)
Poziom rozszerzony
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A.\( x-3 \)
B.\( x^2+9 \)
C.\( x^2-3\sqrt{2}x+9 \)
D.\( x^2+3\sqrt{2}x-9 \)
Tematy nadrzędne i sąsiednie