Zależności trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Drukuj

Poziom podstawowy

Twierdzenie 1.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym są dodatnie.

Uzasadnienie:

Funkcje trygonometryczne kątów ostrych w trójkącie prostokątnym obliczamy jako stosunki odpowiednich boków danego trójkąta. Boki trójkąta mają zawsze długość dodatnią, zatem ich stosunki również są dodatnie.

Twierdzenie 2.

Tangens i cotangens są swoimi odwrotnościami, czyli: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}\] albo inaczej: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\]

Dla kąta \(\alpha \) mamy \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz \(\operatorname{ctg} \alpha\).

\[\operatorname{ctg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2}\]

Twierdzenie 3.

Dla trójkąta prostokątnego: [obrazek - fakt 3]

mamy: \[\begin{split} \sin \alpha = \cos \beta\\ \cos \alpha = \sin \beta\\ \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} \beta\\ \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg} \beta \end{split}\]

Uzasadnienie:

Korzystając bezpośrednio z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy: \[\begin{split} &\sin{\alpha }=\frac{a}{c}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{b}{c}\\[10pt] &\text{tg}{\alpha }=\frac{a}{b}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{b}{a} \end{split}\] oraz: \[\begin{split}&\\&\sin{\beta }=\frac{b}{c}\qquad \qquad &\cos{\beta }=\frac{a}{c}\\[10pt]&\text{tg}{\beta }=\frac{b}{a}\qquad \qquad &\text{ctg}{\beta }=\frac{a}{b}\end{split}\] Zatem mamy: \[\sin \alpha = \frac{a}{c}=\cos \beta\\\cos \alpha = \frac{b}{c}=\sin \beta\\\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \operatorname{ctg} \beta\\\operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a} = \operatorname{tg} \beta\]

Twierdzenie 4.

W trójkącie prostokątnym: [obrazek - fakt 4]

mamy: \[\beta= 90^\circ - \alpha\] Zatem: \[\sin \alpha = \cos (90^\circ - \alpha)\\\cos \alpha = \sin (90^\circ - \alpha)\\\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha)\\\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg} (90^\circ - \alpha)\]

Powyższe wzory to są tzw. wzory redukcyjne dla kąta 90° - α. Otrzymaliśmy je bezpośrednio z równości podanych w Twierdzeniu 3.