Praktyczne zastosowania podstaw trygonometrii
Poziom podstawowy
Dzięki trygonometrii możemy obliczyć wiele rzeczywistych wielkości, które są trudne do zmierzenia w inny, bezpośredni sposób.
Jak zmierzyć wysokość drzewa mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów?
Znajdujemy na ziemi dowolny punkt \(A\), z którego widać wierzchołek drzewa. 
Mierzymy odległość punktu \(A\) od drzewa (czyli długość odcinka \(AB\)) oraz kąt \(\alpha \) pod jakim widzimy wierzchołek drzewa z punktu \(A\). Wysokość \(|BC|\) drzewa obliczamy korzystając z definicji tangensa: \[\begin{split}\frac{|BC|}{|AB|}&=\operatorname{tg} \alpha\\[6pt]|BC|&=|AB|\cdot \operatorname{tg} \alpha \end{split}\] Jeżeli nasze pomiary wypadłyby np. tak: \(|AB|=16\text{ metrów i }\alpha =40^\circ \), to wysokość drzewa wyniosłaby:
Mierzymy odległość punktu \(A\) od drzewa (czyli długość odcinka \(AB\)) oraz kąt \(\alpha \) pod jakim widzimy wierzchołek drzewa z punktu \(A\). Wysokość \(|BC|\) drzewa obliczamy korzystając z definicji tangensa: \[\begin{split}\frac{|BC|}{|AB|}&=\operatorname{tg} \alpha\\[6pt]|BC|&=|AB|\cdot \operatorname{tg} \alpha \end{split}\] Jeżeli nasze pomiary wypadłyby np. tak: \(|AB|=16\text{ metrów i }\alpha =40^\circ \), to wysokość drzewa wyniosłaby: \[|BC|=|AB|\cdot \operatorname{tg} \alpha =16\cdot \operatorname{tg} 40^\circ \simeq 16\cdot 0{,}8391=13{,}4256\]
\[|BC|=|AB|\cdot \operatorname{tg} \alpha =16\cdot \operatorname{tg} 40^\circ \simeq\\[6pt] \simeq 16\cdot 0{,}8391=13{,}4256\]
(przybliżoną wartość tangensa dla kąta \(40^\circ \) odczytaliśmy z tablic matematycznych). Zatem wysokość drzewa dla przyjętych danych, to ok.\(13{,}4\) metra.
Jak zmierzyć szerokość rzeki mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów?
Załóżmy, że stoimy na brzegu w punkcie \(A\) i chcemy zmierzyć odległość do przeciwległego brzegu w punkcie \(B\).
W tym celu idziemy wzdłuż rzeki do dowolnego punktu \(C\), tak aby powstał trójkąt prostokątny \(ABC\).
Mierzymy długość odcinka \(AC\) oraz kąt \(\alpha \). Z definicji tangensa mamy: \[\begin{split}\frac{|AB|}{|AC|}&=\operatorname{tg} \alpha\\[6pt]|AB|&=|AC|\cdot \operatorname{tg} \alpha \end{split}\] Jeżeli nasze pomiary wypadłyby np. tak: \(|AC|=20\text{ metrów i }\alpha =64^\circ \), to szerokość rzeki wyniosłaby:
W tym celu idziemy wzdłuż rzeki do dowolnego punktu \(C\), tak aby powstał trójkąt prostokątny \(ABC\).
Mierzymy długość odcinka \(AC\) oraz kąt \(\alpha \). Z definicji tangensa mamy: \[\begin{split}\frac{|AB|}{|AC|}&=\operatorname{tg} \alpha\\[6pt]|AB|&=|AC|\cdot \operatorname{tg} \alpha \end{split}\] Jeżeli nasze pomiary wypadłyby np. tak: \(|AC|=20\text{ metrów i }\alpha =64^\circ \), to szerokość rzeki wyniosłaby: \[|AB|=|AC|\cdot \operatorname{tg} \alpha =20\cdot \operatorname{tg} 64^\circ \simeq 20\cdot 2{,}0503=41{,}006\]
\[|AB|=|AC|\cdot \operatorname{tg} \alpha =20\cdot \operatorname{tg} 64^\circ \simeq\\[6pt] \simeq 20\cdot 2{,}0503=41{,}006\]
(przybliżoną wartość tangensa dla kąta \(64^\circ \) odczytaliśmy z tablic matematycznych). Zatem szerokość rzeki dla przyjętych danych, to ok. \(41\) metrów.
Poziom rozszerzony
Jak zmierzyć wysokość góry mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów?
Obliczenie wysokości góry jest znacznie trudniejsze od obliczenia wysokości drzewa. Wynika to z tego, że góry zazwyczaj nie są pionowymi ścianami, co uniemożliwia zmierzenie odległości \(AB\). 
Możemy jedynie zmierzyć dowolną odległość \(AD\) u podnóża góry oraz kąty \(\alpha \text{ i }\beta \).
Dla uproszczenia rachunków wprowadźmy krótsze oznaczenia dla poszczególnych odcinków.
Niech \(|AD|=y, |BD|=x, |BC|=h\) (tak jak na rysunku).
Nasze dane, to: \(y, \alpha \text{ i } \beta\) (te wartości możemy zmierzyć).
Możemy jedynie zmierzyć dowolną odległość \(AD\) u podnóża góry oraz kąty \(\alpha \text{ i }\beta \).Dla uproszczenia rachunków wprowadźmy krótsze oznaczenia dla poszczególnych odcinków.
Niech \(|AD|=y, |BD|=x, |BC|=h\) (tak jak na rysunku).
Nasze dane, to: \(y, \alpha \text{ i } \beta\) (te wartości możemy zmierzyć).
Korzystając z trójkąta \(ABC\) mamy: \[\begin{split}\frac{h}{x+y}&=\operatorname{tg} \alpha\\[6pt]h&=(x+y)\operatorname{tg} \alpha \end{split}\] Korzystając z trójkąta \(DBC\) mamy: \[\begin{split}\frac{h}{x}&=\operatorname{tg} \beta\\[6pt]h&=x\operatorname{tg} \beta \end{split}\]
Zatem otrzymaliśmy dwa wzory na wysokość \(h\), które możemy teraz porównać i otrzymamy równanie z którego wyliczymy niewiadomą \(x\). \[\begin{split}x\operatorname{tg} \beta&=(x+y)\operatorname{tg} \alpha \\[6pt]x\operatorname{tg} \beta&=x\operatorname{tg} \alpha +y\operatorname{tg} \alpha \\[6pt]x\operatorname{tg} \beta-x\operatorname{tg} \alpha&=y\operatorname{tg} \alpha \\[6pt]x(\operatorname{tg} \beta -\operatorname{tg} \alpha )&=y\operatorname{tg} \alpha \\[6pt]x&=\frac{y\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta -\operatorname{tg} \alpha}\end{split}\] Korzystamy teraz ze wzoru na wysokość \(h=x\operatorname{tg} \beta \) i otrzymujemy: \[\begin{split}h&=x\operatorname{tg} \beta \\[6pt]h&=\frac{y\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta -\operatorname{tg} \alpha}\cdot \operatorname{tg} \beta \\[6pt]h&=\frac{y\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }{\operatorname{tg} \beta -\operatorname{tg} \alpha}\end{split}\] Jeśli nasze pomiary byłyby np. takie: \(y=120\text{ metrów, } \alpha =42^\circ \text{, }\beta =45^\circ \), to: \[h=\frac{y\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }{\operatorname{tg} \beta -\operatorname{tg} \alpha}=\frac{120\operatorname{tg} 42^\circ \operatorname{tg} 45^\circ }{\operatorname{tg} 45^\circ -\operatorname{tg} 42^\circ }\simeq \frac{120\cdot 0{,}9 \cdot 1 }{1 -0{,}9 }=\frac{108}{0{,}1}=1080\]
\[h=\frac{y\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }{\operatorname{tg} \beta -\operatorname{tg} \alpha}=\frac{120\operatorname{tg} 42^\circ \operatorname{tg} 45^\circ }{\operatorname{tg} 45^\circ -\operatorname{tg} 42^\circ }\simeq\\[6pt] \simeq \frac{120\cdot 0{,}9 \cdot 1 }{1 -0{,}9 }=\frac{108}{0{,}1}=1080\]
Czyli dla przyjętych danych wysokość góry wynosi w przybliżeniu \(1080\) metrów.