Mamy 5 złotych monet, wśród których 3 są prawdziwe, a 2 fałszywe. Wszystkie monety prawdziwe mają jednakową wagę. Jedna z monet fałszywych jest lżejsza, a druga cięższa od monety prawdziwej.
W celu wykrycia fałszywych monet możemy posłużyć się dwuszalkową wagą bez odważników.
W jaki sposób za pomocą trzech i tylko trzech ważeń można określić, które z pięciu monet są fałszywe oraz która z monet fałszywych jest lżejsza, a która cięższa od monety prawdziwej?
Wskazówka W pierwszym ważeniu na szalki wagi kładziemy po jednej monecie i - gdy jest równowaga - oznaczamy monety jako prawdziwe, a gdy nie ma równowagi - jako lżejszą i cięższą .
Odpowiedź W pierwszym ważeniu na szalki wagi kładziemy po jednej monecie. Jeśli jest równowaga - oznaczamy obydwie monety jako P (prawdziwe). Jeśli nie ma równowagi - oznaczamy lżejszą monetę jako L1 (lżejsza w pierwszym ważeniu), a monetę cięższą jako C1 (cięższa w pierwszym ważeniu).
W drugim ważeniu na szalki wagi również kładziemy po jednej monecie (z trzech pozostałych do ważenia). Jeśli jest równowaga - oznaczamy obydwie monety jako P (prawdziwe). Jeśli nie ma równowagi - oznaczamy lżejszą monetę jako L2 (lżejsza w drugim ważeniu), a monetę cięższą jako C2 (cięższa w drugim ważeniu).
Po pierwszych dwóch ważeniach mamy więc jeden z trzech przypadków:
1. P, P, L2, C2
2. L1, C1, P, P
3. L1, C1, L2, C2
Jeśli zaszedł przypadek 1 lub 2 - ważymy jedną z monet P z ostatnią, pozostałą do zważenia, piątą monetą.
Jeśli w tym ważeniu jest równowaga, wówczas moneta oznaczona jako L2 (w przypadku 1) lub L1 (w przypadku 2) jest fałszywa i lżejsza, a oznaczona jako C2 (w przypadku 1) lub C1 (w przypadku 2) fałszywa i cięższa. Jeśli natomiast w tym ważeniu nie ma równowagi, to wiadomo, że ostatnia, piąta moneta jest fałszywa. Gdy jest cięższa od prawdziwej, wówczas drugą fałszywą monetą jest ta oznaczona wcześniej jako L (L2 w przypadku 1 lub L1 w przypadku 2). Gdy natomiast jest lżejsza - drugą fałszywą monetą jest ta oznaczona wcześniej jako C (C2 w przypadku 1 lub C1 w przypadku 2).
Jeśli po dwóch ważeniach zaszedł przypadek 3 - do trzeciego ważenia bierzemy monety oznaczone jako L1 i L2 (lżejsze). Jeżeli L1 będzie lżejsza - wówczas L1 jest fałszywa i lżejsza (a C2 - fałszywa i cięższa), zaś gdy L2 będzie lżejsza - to ona będzie fałszywa i lżejsza (a C1 - fałszywa i cięższa).
Trzecie ważenie w przypadku 3 można wykonać również wykorzystując monety oznaczone jako C1 i C2, a analizę przeprowadzić analogicznie jak w przypadku monet L1 i L2.