Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\). Korzystamy ze schematu Bernoulliego. Ponieważ łucznik ma trafić co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów, zatem musimy obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania \(3\) sukcesów w \(5\) próbach, \(4\) sukcesów w \(5\) próbach i \(5\) sukcesów w \(5\) próbach przy prawdopodobieństwie sukcesu \(p=\frac{9}{10}\). Suma tych prawdopodobieństw, to prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\): \[\begin{split} P(B)&=\binom{5}{3}\cdot \left (\frac{9}{10} \right )^3 \cdot \left (\frac{1}{10} \right )^2+ \binom{5}{4}\cdot \left (\frac{9}{10} \right )^4 \cdot \left (\frac{1}{10} \right )^1+ \left (\frac{9}{10} \right )^5=\\[6pt] &=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{9^3}{10^5}+ \frac{5!}{4!}\cdot \frac{9^4}{10^5}+ \frac{9^5}{10^5}=\\[6pt] &=\frac{10\cdot 9^3}{10^5}+\frac{5\cdot 9^4}{10^5}+\frac{9^5}{10^5}=\\[6pt] &=\frac{10\cdot 9^3+5\cdot 9^4+9^5}{10^5}= \frac{9^3(10 +5\cdot 9+9^2)}{10^5}=\frac{136\cdot 9^3}{10^5} \end{split}\]

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\cap B\): \[ P(A\cap B)=\left (\frac{9}{10} \right )^{10}=\frac{9^{10}}{10^{10}} \]

Zatem mamy ostatecznie: \[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{9^{10}}{10^{10}}}{\frac{136\cdot 9^3}{10^5}} =\frac{9^{10}}{10^{10}}\cdot \frac{10^5}{136\cdot 9^3} =\frac{9^7}{136\cdot10^5} \]