Poziom rozszerzony
Jeżeli funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\) (gdy \(\Delta \geqslant 0\)), to wówczas zachodzą
wzory Viete'a: \[x_1+x_2=-\frac{b}{a} \] \[x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}\]
Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są miejscami zerowymi funkcji \(f(x)=2x^2-5x-6\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x_1+x_2}{2x_1\cdot x_2}\)
Sprawdzamy czy na pewno istnieją dwa miejsca zerowe: \[\Delta = (-5)^2-4\cdot 2\cdot (-6)=25+48=73\] Funkcja ma dwa miejsca zerowe, czyli możemy stosować wzory Viete'a: \[x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{5}{2} \] \[x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6}{2}=-3\] Zatem:
\(\frac{x_1+x_2}{2x_1\cdot x_2}=\frac{\frac{5}{2}}{2\cdot (-3)}=-\frac{5}{12}\)
To zadanie można było też rozwiązać bez wzorów Viete'a, obliczając wartości \(x_1\) i \(x_2\) i podstawiając do powyższego wyrażenia.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2+kx+2k-3=0\), gdzie \(k\in \mathbb{R} \). Dla jakich wartości parametru \(k\) to równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne?
\(k\in \left (\frac{3}{2}; 2\right )\cup (6;+\infty )\)
Równanie kwadratowe \(5x^2+4x-3=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste: \(x_1\) oraz \(x_2\). Wartość wyrażenia \(\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}\) jest równa
A.\( -\frac{4}{5} \)
B.\( \frac{3}{4} \)
C.\( -\frac{5}{3} \)
D.\( \frac{5}{4} \)
B
Równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\), gdzie \(c\ne 0\), ma dwa różne pierwiastki, których suma jest równa ich podwojonemu iloczynowi. Wynika stąd, że
A.\( b=2c \)
B.\( c=2b \)
C.\( b=-2c \)
D.\( 2b=-c \)
C