Poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których równanie \(k^2x-1=x(3k-2)-k\) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.
\(k\ne 2\)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(m\) prawdziwa jest nierówność \(8x^2-4mx+2m^2\ge 12x+6m-18\)
Funkcja \(f\), której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, określona jest wzorem \(f(x)=(m-1)x^2-2x-m+1\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wykres funkcji \(f\) przecina się z prostą o równaniu \(y=-x+1\) w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne mają przeciwne znaki.
\(m\in (-\infty ,0)\cup (1,+\infty )\)
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2-(3m+2)x+2m^2+7m-15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\) tego równania istnieją i spełniają warunek \[2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2\]
Dane jest równanie \(x^2+(2m+1)x-3m^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}=0\). Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru \(m\), dla których to równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania mniejsze od \(4\).
\(m\in \left( \frac{5-\sqrt{133}}{4},-\frac{3}{8} \right) \cup \left( 0,\frac{5+\sqrt{133}}{4} \right)\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[2x^2-(2m+7)x+m^2-3m+21=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunek \(x_1=2x_2\). Zapisz obliczenia.
\(m=4\) oraz \(m=7\)
Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru \( m \), dla których równanie \[ \left (x^3+2x^2+2x+1 \right) \left [ x^2-(2m+1)x+m^2+m \right]=0 \] ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.
\(m=-3\) lub \(m=0\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równianie \[4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1\lt x_2\), spełniające warunek \[(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)\lt 0 .\]
Określ liczbę rozwiązań równania \(mx^2+mx-1-2m=0\), gdzie \(x\in \langle -2,2 \rangle \), w zależności od wartości parametru \(m\in \mathbb{R} \).
\(0\) rozwiązań dla \(m\in (-\frac{4}{9}, \frac{1}{4})\)
\(1\) rozwiązanie dla \(m\ge \frac{1}{4}\lor m=-\frac{4}{9}\)
\(2\) rozwiązania dla \(m\lt -\frac{4}{9}\)
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|\lt 3\).
\(m\in \left ( -\frac{1}{6}; 0 \right )\cup \left (4;\frac{9}{2} \right )\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m + 1)x − m^2 + 1 = 0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) (\(x_1 \ne x_2\)), spełniające warunek \(x_1^3 + x_2^3 \gt -7x_1x_2\).
\(m \in (-\infty, -3) \cup \biggl(\frac{3}{5}, \frac{3}{4}\biggl)\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których dwa różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\) równania \((m+1)x^2+2\sqrt{2}x-m^2+2=0\) spełniają warunek \({x_1}^2+{x_2}^2\ge m-x_1x_2\).
\(m\in (-2,-1)\cup (-1,0)\cup \left(1, \frac{-3+\sqrt{33}}{2}\right\rangle \)
Wyznacz wartość parametru \(m\), dla którego równanie \((m^2+m-3)x^2+(2m-1)x+2=0\) ma dwa rozwiązania dodatnie takie, że jedno z nich jest dwa razy większe od drugiego.
\(m=-4\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \[4x^2-2(m+1)x+m\] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \[x_1\ne 0,\quad x_2\ne 0,\quad \text{oraz}\quad x_1+x_2\le\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\]
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(m+1)x+m=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \[x_1\ne 0,\ \ x_2\ne 0 \ \ \text{oraz}\ \ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\]
\(m=-1\lor m=\frac{1}{2}\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\ne 2\), dla których równanie \[x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3\gt-28\). Zapisz obliczenia.
\(m\in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[mx^2-(m+1)x-2m+3=0\] ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \[x_1\ne 0, \ \ \ x_2\ne 0\ \ \ \text{oraz}\ \ \ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} \lt 1\] Zapisz obliczenia.
\(m\in (-4-2\sqrt{6}, 0)\cup \left(0, \frac{1}{9}\right)\)