Poziom podstawowy
Wyrażenie wymierne - to ułamek, który w liczniku i w mianowniku ma
wielomiany.
Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych wszystkich argumentów, dla których nie występuje dzielenie przez \(0\).
Wyrażenie wymierne \(\frac{5}{x}\), ma w liczniku wielomian stopnia \(0\), a w mianowniku wielomian stopnia \(1\).
Dziedzina tego wyrażenia to: \(\mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Wyrażenie \(\frac{4x+6}{2}\) też można nazwać wyrażeniem wymiernym, choć można je uprościć do wyrażenia liniowego: \[\frac{4x+6}{2}=2x+3\] Najczęściej wyrażeniem wymiernym nazywamy takie ułamki, które w mianowniku mają wielomian przynajmniej \(1\) stopnia. Inaczej - tak jak w tym przykładzie - wyrażenie wymierne upraszcza się do zwykłego wielomianu o dziedzinie \(\mathbb{R} \).
Wyrażenie wymierne \(\frac{2x+3}{x-1}\) ma w liczniku i w mianowniku wielomiany stopnia \(1\).
Dziedzina tego wyrażenia to: \(\mathbb{R} \backslash \{1\}\).
Wyrażenie wymierne \(\frac{x^2+x-2}{x+1}\) można zapisać też tak: \[\frac{(x-1)(x+2)}{x+1}\] To wyrażenie w liczniku ma wielomian stopnia \(2\), a w mianowniku wielomian stopnia \(1\).
Dziedzina tego wyrażenia to: \(\mathbb{R} \backslash \{-1\}\).
Przykład wyrażenia wymiernego, które ma w liczniku i w mianowniku wielomian stopnia \(2\): \[\frac{x^2+2x-1}{(x-3)(x+3)}\] Dziedzina tego wyrażenia to: \(\mathbb{R} \backslash \{-3,3\}\).
Przykład wyrażenia wymiernego, które w liczniku ma wielomian stopnia \(3\), a w mianowniku wielomian stopnia \(2\): \[\frac{x^3+2x^2+34}{6x^2+6}\] Dziedzina tego wyrażenia to: \(\mathbb{R}\).