Poziom podstawowy
Definicja
Dziedzina wyrażenia wymiernego - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych, które zerują mianownik (bo nie wolno dzielić przez \(0\)). Wyznaczanie dziedziny polega na obliczeniu miejsc zerowych mianownika i wykluczeniu ich z dziedziny.
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{4x+1}{6x-18}\).
Szukamy miejsc zerowych mianownika: \[\begin{split} 6x-18&= 0\\[6pt] 6x&= 18\\[6pt] x&= 3 \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę \(3\).
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(3\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{3\}\),
lub tak: \(x\ne 3\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{-5x^2+2x}{-2x-3}\).
Obliczamy miejsce zerowe mianownika: \[\begin{split} -2x-3&= 0\\[6pt] 2x&= -3\\[6pt] x&= -\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(x=-\frac{3}{2}\).
Czyli: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-\frac{3}{2}\}\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{1}{(x-5)(x+7)}\).
Obliczamy miejsca zerowe mianownika: \[\begin{split} (x-5)(x+7)&= 0\\[6pt] x-5=0\quad &\lor\quad x+7=0\\[6pt] x=5\quad &\lor\quad x=-7 \end{split}\] Czyli \(x = 5\) oraz \(x = -7\) zerują mianownik.
Zatem dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R} \backslash \{-7, 5\}\).
Dziedziną wyrażenia wymiernego \(\frac{36-x^2}{(6-x)(x^3-1)}\) jest zbiór
A.\( \mathbb{R} \backslash \{1,6 \} \)
B.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,-1,6 \} \)
C.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,6 \} \)
D.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,1,6 \} \)
A
Zbiór
\(\mathbb{R} \backslash \{-3, 0, 2\}\) jest dziedziną wyrażenia
A.\( \frac{x^2+3x+1}{x^2+x-6} \)
B.\( \frac{x^2-x-2}{x^3+5x^2+6x} \)
C.\( \frac{3x+2}{x(x-2)(x-3)} \)
D.\( \frac{2x+2}{x(x-2)(x+3)} \)
D
Które liczby ze zbioru
\(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego: \[\frac{x^2+x-5}{x^3-9x}\]
A.\( 0,9 \)
B.\( -2,-1,1,2 \)
C.\( -3,-1,1,3 \)
D.\( -3,0,3 \)
D
Dziedziną wyrażenia \(\frac{2-x}{(x+3)(x^2+4x+4)}\) jest zbiór:
A.\( \mathbb{R} \backslash \{ 2,3,-3 \} \)
B.\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,2 \} \)
C.\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,-2 \} \)
D.\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,-2,3 \} \)
C
Wyrażenie wymierne \(W=\frac{x-3}{x^2-4x+4}\) jest określone dla
A.\( x\in \mathbb{R} \)
B.\( x\in \mathbb{R}\backslash \{3\} \)
C.\( x\in \mathbb{R}\backslash \{2\} \)
D.\( x\in \mathbb{R}\backslash \{-2,2\} \)
C
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).
\(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)