Szkoła podstawowa
Pierwiastkowanie liczb nieujemnych ma kilka ważnych własności, dzięki którym łatwiej upraszczać wyrażenia. Na tej stronie omówimy:
- Kwadrat pierwiastka.
- Pierwiastkowanie iloczynu i ilorazu.
- Wyłączanie liczby przed pierwiastek i włączanie pod pierwiastek.
- Dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami.
- Przykłady praktyczne w zadaniach tekstowych.
1. Kwadrat pierwiastka
Dla dowolnej
nieujemnej liczby \(a\), zachodzi: \[ \Bigl(\sqrt{a}\Bigl)^2 = \sqrt{a^2} = a, \]
Oblicz:
- \(\left(\sqrt{7}\right)^2\)
- \(\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2\)
- \(\sqrt{20}\cdot \sqrt{20}\)
- \(\sqrt{13\cdot 13}\)
- \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\)
- \(\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}\)
- \(\sqrt{20}\cdot \sqrt{20} = \sqrt{20^2} = 20\)
- \(\sqrt{13\cdot 13}=\sqrt{13^2}=13\)
Oblicz wartość wyrażenia \(\sqrt{\Bigl(\sqrt{16}\Bigl)^2}\).
Najpierw rozpoznajemy, że \(\Bigl(\sqrt{16}\Bigl)^2 = 16\). Zatem: \[ \sqrt{\Bigl(\sqrt{16}\Bigl)^2} = \sqrt{16} = 4. \]
2. Pierwiastek z iloczynu i ilorazu
Kolejne przydatne reguły to:
- \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\),
- \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\),
Obie własności są prawdziwe, gdy \(a \ge 0\) i \(b > 0\), ponieważ pierwiastkujemy liczby nieujemne i nie dzielimy przez zero.
Oblicz wartość \(\sqrt{36\cdot 25}\) i uprość do najprostszej postaci.
\[ \sqrt{36 \cdot 25} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{25} = 6 \cdot 5 = 30. \]
Uprość wyrażenie \(\sqrt{\frac{49}{100}}\).
\[ \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10}. \]
Oblicz \(\sqrt{72}\) korzystając z faktu, że \(72 = 36 \cdot 2\).
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}. \] Dzięki temu zamiast pierwiastka z \(72\) mamy prostsze wyrażenie \(6\sqrt{2}\).
3. Wyłączanie i włączanie liczby przed pierwiastek
Wyłączanie liczby przed pierwiastek polega na zamianie części liczby znajdującej się pod pierwiastkiem (zwykle największego możliwego kwadratu) na czynnik poza pierwiastkiem.
Włączanie liczby pod pierwiastek to proces odwrotny – jeśli mamy czynnik poza pierwiastkiem, możemy wciągnąć go pod pierwiastek, podnosząc go do kwadratu.
Wyłącz czynnik przed pierwiastek w wyrażeniu \(\sqrt{50}\).
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}. \]
Wyłącz czynnik przed pierwiastek w wyrażeniu \(\sqrt{80}\).
\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}. \]
Włącz czynnik przed pierwiastek w wyrażeniu \(3\sqrt{2}\).
\[ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}. \] Więc \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\).
4. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami
Aby dodać lub odjąć wyrażenia zawierające pierwiastki, muszą one mieć taki sam czynnik pod pierwiastkiem. Jeżeli \(\sqrt{m}\neq \sqrt{n}\), nie możemy ich bezpośrednio połączyć w jedno wyrażenie (chyba że da się uprościć je do tej samej postaci).
Uprość \(\sqrt{20} + \sqrt{125}\).
Najpierw wyłączamy czynniki:
- \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\),
- \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\).
Zatem: \[ \sqrt{20} + \sqrt{125} = 2\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 7\sqrt{5}. \]
Oblicz \(\sqrt{72} - 2\sqrt{8}\).
Najpierw upraszczamy oba pierwiastki:
- \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\),
- \(\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt{2}\).
Zatem:
\(\sqrt{72} - 2\sqrt{8} = 6\sqrt{2} - 2\cdot 2\sqrt{2}\)\(= 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
5. Zadania tekstowe - przykłady praktyczne
Własności pierwiastkowania często przydają się przy obliczaniu pól, obwodów czy innych parametrów figur geometrycznych.
Oblicz pole i obwód prostokąta, którego boki mają długości \(\sqrt{8}\) cm i \(3\sqrt{2}\) cm.
Oblicz wartość wyrażenia opisującego przekątną prostokąta o bokach \(3\) i \(\sqrt{11}\).
Długość przekątnej wyrażamy ze wzoru Pitagorasa: \[d = \sqrt{a^2 + b^2}\] Mamy: \(a = 3\), \(b = \sqrt{11}\). Zatem:
\(d = \sqrt{3^2 + (\sqrt{11})^2}\) \(= \sqrt{9 + 11}\) \(= \sqrt{20}\) \(= \sqrt{4 \cdot 5}\) \(= 2\sqrt{5}\).
Możemy też przybliżyć \(\sqrt{5}\approx2{,}236\), więc \(d \approx 4{,}472\).
Jak widać, znajomość podstawowych własności pierwiastkowania znacznie upraszcza wiele rachunków w matematyce, zwłaszcza wtedy, gdy mamy do czynienia z wyrażeniami zawierającymi pierwiastki.
Oto przykłady mnożenia:
- \(2\cdot 3=6\)
- \(10\cdot 2=20\)
- \(33\cdot 3=99\)
Zadania treningowe
Włącz liczbę pod pierwiastek:
- \(7 \sqrt{2}\)
- \(5 \sqrt{6}\)
- \(3 \sqrt{11}\)
- \(5 \sqrt{5}\)
- \(\frac{1}{3} \sqrt{18}\)
- \(\frac{1}{2} \sqrt{8}\)
- \(\frac{3}{5} \sqrt{15}\)
- \(\frac{1}{4} \sqrt{10}\)
- \(0{,}4 \sqrt{5}\)
- \(0{,}2 \sqrt{5}\)
- \(7\sqrt{2}\) \(= \sqrt{7^2 \cdot 2}\) \(= \sqrt{49 \cdot 2}\) \(= \sqrt{98}\).
- \(5\sqrt{6}\) \(= \sqrt{5^2 \cdot 6}\) \(= \sqrt{25 \cdot 6}\) \(= \sqrt{150}\).
- \(3\sqrt{11}\) \(= \sqrt{3^2 \cdot 11}\) \(= \sqrt{9 \cdot 11}\) \(= \sqrt{99}\).
- \(5\sqrt{5}\) \(= \sqrt{5^2 \cdot 5}\) \(= \sqrt{25 \cdot 5}\) \(= \sqrt{125}\).
- \(\tfrac{1}{3}\sqrt{18}\) \(= \sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2 \cdot 18}\) \(= \sqrt{\tfrac{1}{9} \cdot 18}\) \(= \sqrt{2}\).
- \(\tfrac{1}{2} \sqrt{8}\) \(= \sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^2 \cdot 8}\) \(= \sqrt{\tfrac{1}{4} \cdot 8}\) \(= \sqrt{2}\).
- \(\tfrac{3}{5}\sqrt{15}\) \(= \sqrt{\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2 \cdot 15}\) \(= \sqrt{\tfrac{9}{25} \cdot 15}\) \(= \sqrt{\tfrac{135}{25}}\) \(= \sqrt{\tfrac{27}{5}}\).
- \(\tfrac{1}{4}\sqrt{10}\) \(= \sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^2 \cdot 10}\) \(= \sqrt{\tfrac{1}{16} \cdot 10}\) \(= \sqrt{\tfrac{10}{16}}\) \(= \sqrt{\tfrac{5}{8}}\).
- \(0{,}4 \sqrt{5}\) \(= \sqrt{(0{,}4)^2 \cdot 5}\) \(= \sqrt{0{,}16 \cdot 5}\) \(= \sqrt{0{,}8}\).
Można też zapisać \(0{,}4\) jako \(\tfrac{2}{5}\), wtedy:
\(\tfrac{2}{5}\sqrt{5} = \sqrt{\tfrac{4}{25}\cdot 5} = \sqrt{\tfrac{4\cdot 5}{25}} = \sqrt{\tfrac{20}{25}} = \sqrt{\tfrac{4}{5}}\). - \(0{,}2\sqrt{5}\) \(= \sqrt{(0{,}2)^2 \cdot 5}\) \(= \sqrt{0{,}04 \cdot 5}\) \(= \sqrt{0{,}2}\).
Wyłącz liczbę przed pierwiastek:
- \(\sqrt{48}\)
- \(\sqrt{24}\)
- \(\sqrt{72}\)
- \(\sqrt{45}\)
- \(\sqrt{80}\)
- \(\sqrt{180}\)
- \(\sqrt{245}\)
- \(\sqrt{405}\)
- \(\sqrt{288}\)
- \(\sqrt{800}\)
- \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3}\).
- \(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2 \sqrt{6}\).
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}\).
- \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \sqrt{5}\).
- \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5}\).
- \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6 \sqrt{5}\).
- \(\sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = 7 \sqrt{5}\).
- \(\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = 9 \sqrt{5}\).
- \(\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12 \sqrt{2}\).
- \(\sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20 \sqrt{2}\).
Uprość wyrażenie z pierwiastkami:
- \(2 \sqrt{6}+4 \sqrt{6}-\sqrt{6}\)
- \(7 \sqrt{5}-2 \sqrt{5}\)
- \(3 \sqrt{11}+6 \sqrt{11}\)
- \(\sqrt{11}-5 \sqrt{11}+7 \sqrt{11}\)
- \(3 \sqrt{5}-4 \sqrt{5}+\sqrt{5}\)
- \(6 \sqrt{6}+2 \sqrt{6}-7 \sqrt{6}\)
- \(-\sqrt{2}-3 \sqrt{2}+16 \sqrt{2}\)
- \(4 \sqrt{21}-2 \sqrt{21}\)
- \(4 \sqrt{8}-5 \sqrt{8}+6 \sqrt{8}\)
- \(2 \sqrt{6}+4 \sqrt{6}-\sqrt{6}\) \(= (2+4-1)\sqrt{6}\) \(= 5\sqrt{6}\)
- \(7 \sqrt{5}-2 \sqrt{5}\) \(= (7-2)\sqrt{5}\) \(= 5\sqrt{5}\)
- \(3 \sqrt{11}+6 \sqrt{11}\) \(= (3+6)\sqrt{11}\) \(= 9\sqrt{11}\)
- \(\sqrt{11}-5 \sqrt{11}+7 \sqrt{11}\) \(= (1-5+7)\sqrt{11}\) \(= 3\sqrt{11}\)
- \(3 \sqrt{5}-4 \sqrt{5}+\sqrt{5}\) \(= (3-4+1)\sqrt{5}\) \(= 0\sqrt{5} = 0\)
- \(6 \sqrt{6}+2 \sqrt{6}-7 \sqrt{6}\) \(= (6+2-7)\sqrt{6}\) \(= \sqrt{6}\)
- \(-\sqrt{2}-3 \sqrt{2}+16 \sqrt{2}\) \(= (-1-3+16)\sqrt{2}\) \(= 12\sqrt{2}\)
- \(4 \sqrt{21}-2 \sqrt{21}\) \(= (4-2)\sqrt{21}\) \(= 2\sqrt{21}\)
- \(4 \sqrt{8}-5 \sqrt{8}+6 \sqrt{8}\) \(= (4-5+6)\sqrt{8}\) \(= 5\sqrt{8}\)
Dodatkowo można jeszcze uprościć:
\(5\sqrt{8} = 5\sqrt{4\cdot 2}\) \(= 5\cdot 2\sqrt{2}\) \(= 10\sqrt{2}\)
Uprość wyrażenie z pierwiastkami:
- \(5 \sqrt{3}-\sqrt{27}-2\sqrt{12}\)
- \(2 \sqrt{125}-3 \sqrt{45}+4 \sqrt{5}\)
- \(5\sqrt{100}-\sqrt{98}+2\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{63}+3 \sqrt{7}-\sqrt{49}\)
- \(5 \sqrt{11}-2\sqrt{99}+\sqrt{1100}\)
- \(\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{32}\)
- \(3 \sqrt{3}+\sqrt{48}+\sqrt{75}\)
- \(2 \sqrt{8}-\sqrt{50}+3 \sqrt{72}\)
- \(5 \sqrt{3}-\sqrt{27}-2\sqrt{12}\) \(= 5\sqrt{3} - \sqrt{9\cdot 3} - 2\sqrt{4\cdot 3}\) \(= 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2\cdot 2\sqrt{3}\) \(= 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\) \(= (5-3-4)\sqrt{3}\) \(= -2\sqrt{3}\)
- \(2\sqrt{125}-3 \sqrt{45}+4 \sqrt{5}\) \(= 2\sqrt{25\cdot 5} - 3\sqrt{9\cdot 5} + 4\sqrt{5}\) \(= 2\cdot 5\sqrt{5} - 3\cdot 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}\) \(= 10\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5}\) \(= (10-9+4)\sqrt{5}\) \(= 5\sqrt{5}\)
- \(5\sqrt{100}-\sqrt{98}+2\sqrt{2}\) \(= 5\sqrt{10^2} - \sqrt{49\cdot 2} + 2\sqrt{2}\) \(= 5\cdot 10 - 7\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\) \(= 50 - 7\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\) \(= 50 - (7-2)\sqrt{2}\) \(= 50 - 5\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{63}+3 \sqrt{7}-\sqrt{49}\) \(= \sqrt{9\cdot 7} + 3\sqrt{7} - \sqrt{7^2}\) \(= 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 7\) \(= (3+3)\sqrt{7} - 7\) \(= 6\sqrt{7} - 7\)
- \(5 \sqrt{11}-2\sqrt{99}+\sqrt{1100}\) \(= 5\sqrt{11} - 2\sqrt{9\cdot 11} + \sqrt{100\cdot 11}\) \(= 5\sqrt{11} - 2\cdot 3\sqrt{11} + 10\sqrt{11}\) \(= 5\sqrt{11} - 6\sqrt{11} + 10\sqrt{11}\) \(= (5-6+10)\sqrt{11}\) \(= 9\sqrt{11}\)
- \(\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{32}\) \(= \sqrt{2} + \sqrt{4\cdot 2} - \sqrt{16\cdot 2}\) \(= \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}\) \(= (1+2-4)\sqrt{2}\) \(= -\sqrt{2}\)
- \(3 \sqrt{3}+\sqrt{48}+\sqrt{75}\) \(= 3\sqrt{3} + \sqrt{16\cdot 3} + \sqrt{25\cdot 3}\) \(= 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3}\) \(= (3+4+5)\sqrt{3}\) \(= 12\sqrt{3}\)
- \(2 \sqrt{8}-\sqrt{50}+3 \sqrt{72}\) \(= 2\sqrt{4\cdot 2} - \sqrt{25\cdot 2} + 3\sqrt{36\cdot 2}\) \(= 2\cdot 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\cdot 6\sqrt{2}\) \(= 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 18\sqrt{2}\) \(= (4-5+18)\sqrt{2}\) \(= 17\sqrt{2}\)
Oblicz:
- \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\)
- \(\sqrt{25-9}\)
- \(\sqrt{3,6} \cdot \sqrt{10}\)
- \(\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\)
- \(\sqrt{10} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}}\)
- \(\sqrt{121 \cdot 144}\)
- \(\sqrt{25 + 144}\)
- \(\sqrt{\frac{0,49}{0,09}}\)
- \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\) \(= \sqrt{2\cdot8}\) \(= \sqrt{16}\) \(= 4\)
- \(\sqrt{25-9}\) \(= \sqrt{16}\) \(= 4\)
- \(\sqrt{3,6} \cdot \sqrt{10}\) \(= \sqrt{3,6\cdot10}\) \(= \sqrt{36}\) \(= 6\)
- \(\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\) \(= \sqrt{\frac{28}{7}}\) \(= \sqrt{4}\) \(= 2\)
- \(\sqrt{10} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}}\) \(= \sqrt{10\cdot\frac{2}{5}}\) \(= \sqrt{\frac{20}{5}}\) \(= \sqrt{4}\) \(= 2\)
- \(\sqrt{121 \cdot 144}\) \(= \sqrt{11^2\cdot 12^2}\) \(= \sqrt{(11\cdot12)^2}\) \(= 11\cdot12\) \(= 132\)
- \(\sqrt{25 + 144}\) \(= \sqrt{169}\) \(= 13\)
- \(\sqrt{\frac{0,49}{0,09}}\) \(= \frac{0,7}{0,3}\) \(= \frac{7}{3}\)
Oblicz:
- Ile razy liczba \(\sqrt{48}\) jest większa od liczby \(\sqrt{3}\) ?
- O ile liczba \(\sqrt{48}\) jest większa od liczby \(\sqrt{3}\) ?
- \(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\).
Zatem liczba \(\sqrt{48}\) jest \(4\) razy większa od liczby \(\sqrt{3}\). - \(\sqrt{48} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} - \sqrt{3}\) \(= (4-1)\sqrt{3}\) \(= 3\sqrt{3}\).
Zatem liczba \(\sqrt{48}\) jest większa od liczby \(\sqrt{3}\) o \(3\sqrt{3}\).
Która liczba jest większa:
- \(\sqrt{9+16}\) czy \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\) ?
- \(\sqrt{169-144}\) czy \(\sqrt{169}-\sqrt{144}\) ?
- \(2 \sqrt{5}\) czy \(\sqrt{15}\) ?
Zapisz podane liczby w kolejności rosnącej: \(5 \sqrt{12},\quad 3\sqrt{3}+\sqrt{75},\quad 10\sqrt{48}-3\sqrt{27}\).
Upraszczamy każdą z liczb:
- \(5 \sqrt{12} = 5\sqrt{4\cdot3} = 5\cdot2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
- \(3\sqrt{3}+\sqrt{75} = 3\sqrt{3}+\sqrt{25\cdot3}\) \(= 3\sqrt{3}+5\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
- \(10\sqrt{48}-3\sqrt{27}\) \(= 10\sqrt{16\cdot3}-3\sqrt{9\cdot3}\) \(= 10\cdot4\sqrt{3}-3\cdot3\sqrt{3}\) \(= 40\sqrt{3}-9\sqrt{3}\) \(= 31\sqrt{3}\)
Zatem kolejność rosnąca to: \[8\sqrt{3} \lt 10\sqrt{3} \lt 31\sqrt{3}\] Czyli: \[3\sqrt{3}+\sqrt{75} \lt 5 \sqrt{12} \lt 10\sqrt{48}-3\sqrt{27}\]