Pierwiastkowanie

Drukuj

Poziom podstawowy

Pierwiastek oznaczamy symbolem: \[\sqrt{\ \ \ \ \ \ \ }\] Pierwiastek z liczby obliczamy tak, że szukamy liczby, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę pod pierwiastkiem.

\(\sqrt{4}=2\), ponieważ \(2^2=4\)

\(\sqrt{9}=3\), ponieważ \(3^2=9\)

\(\sqrt{49}=7\), ponieważ \(7^2=49\)

\(\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{4}\right )^2=\frac{1}{16}\)

\(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{5}{9}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{9}\right )^2=\frac{25}{81}\)

Zauważmy że, wynikiem pierwiastkowania jest zawsze liczba dodatnia!.
Tak samo pod pierwiastkiem - zawsze może stać tylko liczba dodatnia.

\(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych

\(\sqrt{-\frac{1}{9}}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych

W tym nagraniu pokazuję jakie niebezpieczeństwa mogą na nas czyhać podczas wykonywania działań na pierwiastkach.

Czas nagrania: 24 min.

Poziom podstawowy

Pierwiastki wyższych stopni

Możemy obliczać również pierwiastki wyższych stopni. Wtedy stosujemy taki symbol: \[\sqrt[n]{\ \ \ \ \ \ \ }\] gdzie \(n\) - to stopień pierwiastka.

Chcąc obliczyć pierwiastek \(n\)-tego stopnia, szukamy liczby która podniesiona do \(n\)-tej potęgi da nam liczbę pod pierwiastkiem.
Pierwiastki nieparzystych stopni możemy obliczać również z liczb ujemnych.

\(\sqrt[3]{8}=2\), ponieważ \(2^3=8\)

\(\sqrt[3]{-27}=-3\), ponieważ \((-3)^3=-27\)

\(\sqrt[5]{-1}=-1\), ponieważ \((-1)^5=-1\)

\(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{2}\right )^4=\frac{1}{16}\)

\(\sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\frac{5}{3}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{3}\right )^4=\frac{625}{81}\)

Zapis pierwiastka za pomocą potęgi

\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]

\(\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\)

\(\sqrt[7]{a\cdot b^2}=(a\cdot b^2)^{\frac{1}{7}}\)

\(\sqrt{13x}=(13x)^{\frac{1}{2}}\)

Taki zapis ułatwia często wykonywanie działań na pierwiastkach:

\[\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=x^{\frac{8}{15}}\]

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

A.\( \frac{3}{2} \)

B.\( \frac{9}{4} \)

C.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

D.\( \frac{3}{2\sqrt[3]{21}} \)