Poziom podstawowy
Pierwiastek oznaczamy tak:

Pierwiastek z liczby obliczamy tak, że szukamy liczby, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę pod pierwiastkiem.
Przykład 1.
a)
\(\sqrt{4}=2\), ponieważ \(2^2=4\)
b)
\(\sqrt{9}=3\), ponieważ \(3^2=9\)
c)
\(\sqrt{49}=7\), ponieważ \(7^2=49\)
d)
\(\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{4}\right )^2=\frac{1}{16}\)
e)
\(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{5}{9}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{9}\right )^2=\frac{25}{81}\)
Zauważmy że, wynikiem pierwiastkowania jest zawsze liczba dodatnia (lub równa zero)!
Tak samo pod pierwiastkiem może stać tylko liczba nieujemna.
Jak czytamy?
Np. \(\sqrt{16}\) czytamy: pierwiastek z \(16\), lub pierwiastek kwadratowy z \(16\), lub pierwiastek drugiego stopnia z \(16\).
Przykład 2.
1)
\(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych
2)
\(\sqrt{-\frac{1}{9}}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych
Lekcja 1. Pierwiastki - pułapki i niebezpieczeństwa
W tym nagraniu pokazuję jakie niebezpieczeństwa mogą na nas czyhać podczas wykonywania działań na pierwiastkach.
Czas nagrania: 24 min.
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Pierwiastki wyższych stopni
Możemy obliczać również pierwiastki wyższych stopni. Wtedy stosujemy taki symbol: \[ \sqrt[n]{\ \ \ \ \ \ \ } \] gdzie \(n\) – to stopień pierwiastka.
Aby pierwiastek był określony w liczbach rzeczywistych, gdy \(n\) jest parzyste, liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna. Pierwiastki nieparzystych stopni możemy obliczać również z liczb ujemnych. Chcąc obliczyć pierwiastek \(n\)-tego stopnia, szukamy liczby, która podniesiona do \(n\)-tej potęgi da wartość pod pierwiastkiem.
Przykład 3.
a)
\(\sqrt[3]{8}=2\), ponieważ \(2^3=8\)
b)
\(\sqrt[3]{-27}=-3\), ponieważ \((-3)^3=-27\)
c)
\(\sqrt[5]{-1}=-1\), ponieważ \((-1)^5=-1\)
d)
\(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)
e)
\(\sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\frac{5}{3}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{3}\right)^4=\frac{625}{81}\)
Zapis pierwiastka za pomocą potęgi
\[ \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \] Przykład 4.
a)
\(\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}\)
b)
\(\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\)
c)
\(\sqrt[7]{a\cdot b^2}=(a\cdot b^2)^{\frac{1}{7}}\)
d)
\(\sqrt{13x}=(13x)^{\frac{1}{2}}\)
Dzięki zapisowi za pomocą potęg możemy łatwiej wykonywać działania na pierwiastkach, korzystając z reguł działań na potęgach.
Przykład 5.
- \(\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{5}}=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=x^{\frac{8}{15}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}}=x^{\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}=x^{\frac{9}{12}-\frac{2}{12}}=x^{\frac{7}{12}}\)
- \(\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=x^1=x\) określone dla \(x\ge 0\)
Własności działań na pierwiastkach
Dla liczb nieujemnych zachodzą następujące własności:
- \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
- \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) (dla \(b\neq 0\))
- \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) dla \(n\) parzystych oraz \(\sqrt[n]{a^n}=a\) dla \(n\) nieparzystych.
Upraszczanie pierwiastków
Aby uprościć pierwiastek, rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na czynniki i wyciągamy te, które są doskonałymi potęgami odpowiadającymi stopniowi pierwiastka. Przykłady:
Przykład 6.
a)
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\)
b)
\(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\)
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami
Możemy dodawać lub odejmować tylko wyrażenia zawierające te same pierwiastki (tzn. te, które mają taki sam indeks i radikand). Przykłady:
Przykład 7.
a)
\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}\)
b)
\(4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
c)
\(3\sqrt{5}+2\sqrt{3}\) nie można uprościć, ponieważ liczby pod pierwiastkami są różne.
Mnożenie i dzielenie wyrażeń z pierwiastkami
Mnożenie i dzielenie wykonujemy, korzystając z własności pierwiastków:
Przykład 8.
\[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \]
Usuwanie niewymierności z mianownika
Jeżeli w mianowniku ułamka znajduje się pierwiastek, często dążymy do usunięcia tego pierwiastka.
Przykład 9.
a)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
b)
\(\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}\)
Ułamki z pierwiastkami w liczniku i mianowniku
Często upraszczamy wyrażenia, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik zawierają pierwiastki. Wykorzystujemy do tego własności działań na pierwiastkach i racjonalizację mianownika. Przykłady:
Przykład 10.
a)
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{9\cdot2}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\)
b)
\(\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\)
Równania z pierwiastkami
W równaniach zawierających pierwiastki najczęściej izolujemy pierwiastek po jednej stronie równania, a następnie podnosimy obie strony do potęgi odpowiadającej stopniowi pierwiastka. Pamiętamy jednak, że takie działanie może wykonać tylko jak obie strony równania są tego samego znaku! W tym celu wyznaczamy dziedzinę.
Przykład 11.
a)
Rozwiąż równanie: \(\sqrt{x+5}=3\).
- Dziedzina: \(x+5\ge 0\), więc \(x\ge -5\).
- Podnosimy obie strony do kwadratu: \(x+5=9\).
- Otrzymujemy: \(x=4\) - rozwiązanie należy do dziedziny.
- Sprawdzamy: \(\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3\).
b)
Rozwiąż równanie: \(\sqrt[3]{2x-1}=3\).
- Stopień pierwiastka jest nieparzysty, więc dziedziną jest całe \(\mathbb{R} \).
- Podnosimy obie strony do potęgi trzeciej: \(2x-1=27\).
- Otrzymujemy: \(2x=28\), czyli \(x=14\).
- Sprawdzamy: \(\sqrt[3]{2\cdot14-1}=\sqrt[3]{27}=3\).
Zadanie 1.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Wyrażenie \(\sqrt{81}-\sqrt{49}\) jest równe
A
B
.
A.\( 2 \)
B.\( \sqrt{32} \)
Wyrażenie \(\sqrt{144}+\sqrt{25}\) jest równe
C
D
.
Odpowiedź: AD
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa
A.\( (7\cdot 5)^{\frac{1}{2}} \)
B.\( 5^{\frac{1}{2}} \)
C.\( 7 \)
D.\( 7\cdot 5^{\frac{1}{2}} \)
Odpowiedź: D
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\) jest równy
A.\( x \)
B.\( \sqrt[10]{x} \)
C.\( \sqrt[18]{x} \)
D.\( x^2 \)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 4.
Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa
A.\( \frac{3}{2} \)
B.\( \frac{9}{4} \)
C.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
D.\( \frac{3}{2\sqrt[3]{21}} \)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 5.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}\) jest równa
A.\( \left(-\frac{3}{2}\right) \)
B.\( \frac{3}{2} \)
C.\( \frac{2}{3} \)
D.\( \left(-\frac{2}{3}\right) \)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 6.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa
A.\(\sqrt[3]{\frac{76}{49}}\)
B.\( (-1) \)
C.\( 4 \)
D.\( 4 \sqrt[3]{2} \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 7.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa
A.\(5^{4}\)
B.\(5^{-4}\)
C.\(5^{0,25}\)
D.\(5^{-0,25}\)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 8.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \((2 \sqrt{10}+\sqrt{2})^{2}\) jest równa
A.22
B.42
C.\(42+4 \sqrt{5}\)
D.\(42+8 \sqrt{5}\)
Odpowiedź: D
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 9.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa
A.\( (-2\sqrt{3}) \)
B.\( 0 \)
C.\( 6 \)
D.\( 8\sqrt{3} \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 10.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( (-10) \)
C.\( 4\sqrt{5} \)
D.\( 2+2\sqrt{5} \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.