Pierwiastkowanie

Drukuj

Poziom podstawowy

Pierwiastek oznaczamy tak:

Pierwiastek z liczby obliczamy tak, że szukamy liczby, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę pod pierwiastkiem.

\(\sqrt{4}=2\), ponieważ \(2^2=4\)

\(\sqrt{9}=3\), ponieważ \(3^2=9\)

\(\sqrt{49}=7\), ponieważ \(7^2=49\)

\(\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{4}\right )^2=\frac{1}{16}\)

\(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{5}{9}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{9}\right )^2=\frac{25}{81}\)

Zauważmy że, wynikiem pierwiastkowania jest zawsze liczba dodatnia (lub równa zero)!
Tak samo pod pierwiastkiem może stać tylko liczba nieujemna.

Jak czytamy?
Np. \(\sqrt{16}\) czytamy: pierwiastek z \(16\), lub pierwiastek kwadratowy z \(16\), lub pierwiastek drugiego stopnia z \(16\).

\(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych

\(\sqrt{-\frac{1}{9}}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych

W tym nagraniu pokazuję jakie niebezpieczeństwa mogą na nas czyhać podczas wykonywania działań na pierwiastkach.

Czas nagrania: 24 min.

Pierwiastki wyższych stopni

Możemy obliczać również pierwiastki wyższych stopni. Wtedy stosujemy taki symbol: \[ \sqrt[n]{\ \ \ \ \ \ \ } \] gdzie \(n\) – to stopień pierwiastka.
Aby pierwiastek był określony w liczbach rzeczywistych, gdy \(n\) jest parzyste, liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna. Pierwiastki nieparzystych stopni możemy obliczać również z liczb ujemnych.

Chcąc obliczyć pierwiastek \(n\)-tego stopnia, szukamy liczby, która podniesiona do \(n\)-tej potęgi da wartość pod pierwiastkiem.

\(\sqrt[3]{8}=2\), ponieważ \(2^3=8\)

\(\sqrt[3]{-27}=-3\), ponieważ \((-3)^3=-27\)

\(\sqrt[5]{-1}=-1\), ponieważ \((-1)^5=-1\)

\(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)

\(\sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\frac{5}{3}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{3}\right)^4=\frac{625}{81}\)

Zapis pierwiastka za pomocą potęgi

\[ \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \]

\(\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\)

\(\sqrt[7]{a\cdot b^2}=(a\cdot b^2)^{\frac{1}{7}}\)

\(\sqrt{13x}=(13x)^{\frac{1}{2}}\)

Dzięki zapisowi za pomocą potęg możemy łatwiej wykonywać działania na pierwiastkach, korzystając z reguł działań na potęgach.

\(\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{5}}=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=x^{\frac{8}{15}}\)
\(\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}}=x^{\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}=x^{\frac{9}{12}-\frac{2}{12}}=x^{\frac{7}{12}}\)
\(\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=x^1=x\) określone dla \(x\ge 0\)

Własności działań na pierwiastkach

Dla liczb nieujemnych zachodzą następujące własności:

\(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) (dla \(b\neq 0\))
\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) dla \(n\) parzystych oraz \(\sqrt[n]{a^n}=a\) dla \(n\) nieparzystych.

Upraszczanie pierwiastków

Aby uprościć pierwiastek, rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na czynniki i wyciągamy te, które są doskonałymi potęgami odpowiadającymi stopniowi pierwiastka. Przykłady:

\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\)

\(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\)

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami

Możemy dodawać lub odejmować tylko wyrażenia zawierające te same pierwiastki (tzn. te, które mają taki sam indeks i radikand). Przykłady:

\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}\)

\(4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

\(3\sqrt{5}+2\sqrt{3}\) nie można uprościć, ponieważ liczby pod pierwiastkami są różne.

Mnożenie i dzielenie wyrażeń z pierwiastkami

Mnożenie i dzielenie wykonujemy, korzystając z własności pierwiastków:

\[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \]

Usuwanie niewymierności z mianownika

Jeżeli w mianowniku ułamka znajduje się pierwiastek, często dążymy do usunięcia tego pierwiastka.

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}\)

Ułamki z pierwiastkami w liczniku i mianowniku

Często upraszczamy wyrażenia, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik zawierają pierwiastki. Wykorzystujemy do tego własności działań na pierwiastkach i racjonalizację mianownika. Przykłady:

\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{9\cdot2}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\)

Równania z pierwiastkami

W równaniach zawierających pierwiastki najczęściej izolujemy pierwiastek po jednej stronie równania, a następnie podnosimy obie strony do potęgi odpowiadającej stopniowi pierwiastka. Pamiętamy jednak, że takie działanie może wykonać tylko jak obie strony równania są tego samego znaku! W tym celu wyznaczamy dziedzinę.

Rozwiąż równanie: \(\sqrt{x+5}=3\).

Dziedzina: \(x+5\ge 0\), więc \(x\ge -5\).
Podnosimy obie strony do kwadratu: \(x+5=9\).
Otrzymujemy: \(x=4\) - rozwiązanie należy do dziedziny.
Sprawdzamy: \(\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3\).

Rozwiąż równanie: \(\sqrt[3]{2x-1}=3\).

Stopień pierwiastka jest nieparzysty, więc dziedziną jest całe \(\mathbb{R} \).
Podnosimy obie strony do potęgi trzeciej: \(2x-1=27\).
Otrzymujemy: \(2x=28\), czyli \(x=14\).
Sprawdzamy: \(\sqrt[3]{2\cdot14-1}=\sqrt[3]{27}=3\).

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wyrażenie \(\sqrt{81}-\sqrt{49}\) jest równe

A.\( 2 \)

B.\( \sqrt{32} \)

Wyrażenie \(\sqrt{144}+\sqrt{25}\) jest równe

C.\( 13 \)

D.\( 17 \)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa

A.\( (7\cdot 5)^{\frac{1}{2}} \)

B.\( 5^{\frac{1}{2}} \)

C.\( 7 \)

D.\( 7\cdot 5^{\frac{1}{2}} \)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\) jest równy

A.\( x \)

B.\( \sqrt[10]{x} \)

C.\( \sqrt[18]{x} \)

D.\( x^2 \)

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

A.\( \frac{3}{2} \)

B.\( \frac{9}{4} \)

C.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

D.\( \frac{3}{2\sqrt[3]{21}} \)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}\) jest równa

A.\( \left(-\frac{3}{2}\right) \)

B.\( \frac{3}{2} \)

C.\( \frac{2}{3} \)

D.\( \left(-\frac{2}{3}\right) \)

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa

A.\(\sqrt[3]{\frac{76}{49}}\)

B.\( (-1) \)

C.\( 4 \)

D.\( 4 \sqrt[3]{2} \)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa

A.\(5^{4}\)

B.\(5^{-4}\)

C.\(5^{0,25}\)

D.\(5^{-0,25}\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((2 \sqrt{10}+\sqrt{2})^{2}\) jest równa

A.22

B.42

C.\(42+4 \sqrt{5}\)

D.\(42+8 \sqrt{5}\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa

A.\( (-2\sqrt{3}) \)

B.\( 0 \)

C.\( 6 \)

D.\( 8\sqrt{3} \)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

A.\( 0 \)

B.\( (-10) \)

C.\( 4\sqrt{5} \)

D.\( 2+2\sqrt{5} \)