Twierdzenie Bézouta

Z twierdzenia Bézouta wiemy, że wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez \( (x-2) \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(2)&=0\\2^5-2\cdot 2^4+2^3-3\cdot 2^2+2+2&=0\\32-32+8-12+2+2&=0\\0&=0\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie prawdziwe, zatem wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez wielomian \( P(x) \).

Z twierdzenia Bézouta wiemy, że wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( (x+1) \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(-1)&=0\\{(-1)}^{20}+{(-1)}^{15}-5&=0\\1-1-5&=0\\-5&=0\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem wielomian \( W(x) \) nie jest podzielny przez wielomian \( P(x) \).

Wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( x+3 \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(-3)&=0\\\end{split}\] Rozwiązujemy zatem to równanie: \[\begin{split}W(-3)&=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\{(-3)}^{3}+m\cdot {(-3)}^{2}+6\cdot (-3)+4&=0\\-27+9m-18+4&=0\\9m-41&=0\\9m&=41\\m&=\frac{41}{9}\end{split}\] Odpowiedź: Dla \( m=\frac{41}{9} \).

Wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( x-2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(2)&=0\\\end{split}\] Rozwiązujemy zatem równanie: \[\begin{split}W(2)&=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\m^2\cdot 2^5-m\cdot 2^2+2+m-2&=0\\32m^2-4m+m&=0\\32m^2-3m&=0\\m(32m-3)&=0\\m=0\quad &\lor \quad 32m-3=0\\ &\quad \quad 32m=3\\ &\quad \quad m=\frac{3}{32}\\\end{split}\] Odpowiedź: Dla \( m=0 \) lub \( m=\frac{3}{32} \).