Twierdzenie Bézouta

Drukuj

Poziom podstawowy

Twierdzenie

Wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( (x-a) \) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba \( a \) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Czy wielomian \( W(x)=x^5 -2x^4+x^3-3x^2+x+2 \) jest podzielny przez wielomian \(P(x)=x-2\)?

Z twierdzenia Bézouta wiemy, że wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez \( (x-2) \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(2)&=0\\2^5-2\cdot 2^4+2^3-3\cdot 2^2+2+2&=0\\32-32+8-12+2+2&=0\\0&=0\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie prawdziwe, zatem wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez wielomian \( P(x) \).

Czy wielomian \( W(x)=x^{20}+x^{15}-5 \) jest podzielny przez wielomian \(P(x)=x+1\)?

Z twierdzenia Bézouta wiemy, że wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( (x+1) \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(-1)&=0\\{(-1)}^{20}+{(-1)}^{15}-5&=0\\1-1-5&=0\\-5&=0\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem wielomian \( W(x) \) nie jest podzielny przez wielomian \( P(x) \).

Dla jakiego parametru \( m \) wielomian \( W(x)=x^3+mx^2+6x+4 \) jest podzielny przez dwumian \( x+3 \)?

Wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( x+3 \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(-3)&=0\\\end{split}\] Rozwiązujemy zatem to równanie: \[\begin{split}W(-3)&=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\{(-3)}^{3}+m\cdot {(-3)}^{2}+6\cdot (-3)+4&=0\\-27+9m-18+4&=0\\9m-41&=0\\9m&=41\\m&=\frac{41}{9}\end{split}\] Odpowiedź: Dla \( m=\frac{41}{9} \).

Dla jakiego parametru \( m \) wielomian \(W(x)=m^2x^5-mx^2+x+m-2\) jest podzielny przez dwumian \(x-2\)?

Wielomian \( W(x) \) jest podzielny przez dwumian \( x-2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\begin{split}W(2)&=0\\\end{split}\] Rozwiązujemy zatem równanie: \[\begin{split}W(2)&=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\m^2\cdot 2^5-m\cdot 2^2+2+m-2&=0\\32m^2-4m+m&=0\\32m^2-3m&=0\\m(32m-3)&=0\\m=0\quad &\lor \quad 32m-3=0\\ &\quad \quad 32m=3\\ &\quad \quad m=\frac{3}{32}\\\end{split}\] Odpowiedź: Dla \( m=0 \) lub \( m=\frac{3}{32} \).

Liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=-x^3+2x^2-ax-4\) . Wynika stąd, że

A.\(a=-6\)

B.\(a=-2\)

C.\(a=2\)

D.\(a=4\)

Liczba \(x=3\sqrt{2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^2-2a\), gdy \(a\) jest równe

A.\( 18 \)

B.\( -18 \)

C.\( 9 \)

D.\( 18\sqrt{2} \)

Liczba \(2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+6x-4\). Współczynnik \(a\) jest równy

A.\( 2 \)

B.\( -2 \)

C.\( 4 \)

D.\( -4 \)

Liczba \( x=3\sqrt{2} \) jest pierwiastkiem wielomianu \( W(x)= x^2 -2a \), gdy \( a \) jest równe

A.\(18 \)

B.\(-18 \)

C.\(9 \)

D.\(18\sqrt{2} \)

Dany jest wielomian \[W(x)=3x^3+kx^2-12x-7k+12\] gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba \((−2)\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 4 \)

C.\( 6 \)

D.\( 8 \)

Dany jest wielomian \(W(x)=-2x^3+3x^2-(k+2)x-6\). Wyznacz wartość \(k\), wiedząc, że liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).

\(k=-13\)

Dany jest wielomian \[W(x)=3x^3+mx^2+3x-2\] gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej: \[W(x)=(x+2)Q(x)\] gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym.

Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).

\(Q(x)=3x^2+2x-1\), \(x_1=-2\), \(x_2=-1\), \(x_3=\frac{1}{3}\)

Dany jest wielomian \(W(x) = -3x^3 - x^2 + kx + 1\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian \(W\) można zapisać w postaci \(W(x) = (x + 1)\cdot Q(x)\) dla pewnego wielomianu \(Q\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

A.\( 29 \)

B.\( (-3) \)

C.\( 0 \)

D.\( 3 \)