Pierwiastki całkowite wielomianu

Poziom podstawowy

Jeżeli wielomian \(w(x)=a_nx^n + {a}_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0\) (gdzie \(a_0 \ne 0\)) o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego \( a_0 \).

Wyznacz pierwiastki całkowite wielomianu \(w(x)=3x^3+x+4\)

Jeśli istnieją pierwiastki całkowite, to są dzielnikami wyrazu wolnego \((-4)\). Czyli szukamy pierwiastka wśród liczb: \(-1\), \(1\), \(-2\), \(2\), \(-4\) i \(4\). Obliczamy wartość wielomianu \(w(x)\) dla kolejnych liczb: \[ \begin{split} & w(-1)=3 \cdot(-1)^3+(-1)+4=0 \\ & w(1)=3 \cdot 1^3+1+4 \neq 0 \\ & w(-2)=3 \cdot(-2)^3+(-2)+4 \neq 0 \\ & w(2)=3 \cdot 2^3+2+4 \neq 0 \\ & w(-4)=3 \cdot(-4)^3+(-4)+4 \neq 0 \\ & w(4)=3 \cdot 4^3+4+4 \neq 0 \\ \end{split} \] Zatem tylko dla \(x=-1\) wielomian \(w(x)\) przyjął wartość \(0\), zatem \(x=-1\) jest jedynym pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu.

Wyznacz pierwiastki całkowite wielomianu \(w(x)=x^4-4x^2+3\)

Jeśli istnieją pierwiastki całkowite, to są dzielnikami wyrazu wolnego \(3\). Czyli szukamy pierwiastka wśród liczb: \(-1\), \(1\), \(-3\) i \(3\). Obliczamy wartość wielomianu \(w(x)\) dla kolejnych liczb: \[ \begin{split} & w(-1)=(-1)^4-4\cdot (-1)^2+3=0 \\ & w(1)=1^4-4\cdot 1^2+3=0 \\ & w(-2)=(-3)^4-4\cdot (-3)^2+3 \neq 0 \\ & w(2)=3^4-4\cdot 3^2+3=0 \neq 0 \\ \end{split} \] Zatem pierwiastki całkowite wielomianu, to: \(x=-1\) oraz \(x=1\).

Uwaga!
Szukając pierwiastków wielomianu, zawsze warto spróbować rozłożyć wielomian na czynniki - w ten sposób można wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu - nawet te niewymierne, np: \[ x^4-4x^2+3=0\\[6pt] x^4-x^2-3x^2+3=0\\[6pt] x^2(x^2-1)-3(x^2-1)=0\\[6pt] (x^2-1)(x^2-3)=0\\[6pt] x^2=1\quad \lor \quad x^2=3\\[6pt] x=-1\ \lor \ x=1 \ \lor \ x=-\sqrt{3} \ \lor \ x=\sqrt{3} \]

Wyznacz pierwiastki całkowite wielomianu \( W(x)=x^4+2x^3-13x^2+4x-30 \).

Pierwiastków całkowitych wielomianu szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego \( -30 \), czyli wśród liczb \(-1\), \(1\), \(-2\), \(2\), \(-3\), \(3\), \(-5\), \(5\), \(-6\), \(6\), \(-10\), \(10\), \(-15\), \(15\), \(-30\) i \(30\). Sprawdzamy liczby po kolei:

\[\begin{split} &w(-1)={(-1)}^{4}+2\cdot {(-1)}^{3}-13\cdot {(-1)}^{2}+4\cdot (-1)-30=-48\ne 0\\[6pt] &w(1)={1}^{4}+2\cdot {1}^{3}-13\cdot {1}^{2}+4\cdot 1-30=-36\ne 0\\[6pt] &w(-2)={(-2)}^{4}+2\cdot {(-2)}^{3}-13\cdot {(-2)}^{2}+4\cdot (-2)-30=-90\ne 0\\[6pt] &w(2)={2}^{4}+2\cdot {2}^{3}-13\cdot {2}^{2}+4\cdot 2-30=-42\ne 0\\[6pt] &w(-3)={(-3)}^{4}+2\cdot {(-3)}^{3}-13\cdot {(-3)}^{2}+4\cdot (-3)-30=-132\ne 0 \\[6pt] &w(3)={3}^{4}+2\cdot {3}^{3}-13\cdot {3}^{2}+4\cdot 3-30=0\\[6pt] &w(-5)={(-5)}^{4}+2\cdot {(-5)}^{3}-13\cdot {(-5)}^{2}+4\cdot (-5)-30=0\\[6pt] &w(5)={5}^{4}+2\cdot {5}^{3}-13\cdot {5}^{2}+4\cdot 5-30=540\ne 0\\[6pt] &w(-6)=366\ne 0\\[6pt] &w(6)=5326\ne 0\\[6pt] &w(-10)=6630\ne 0\\[6pt] &w(10)=10710\ne 0\\[6pt] &w(-15)=40860 \ne 0\\[6pt] &w(15)=54480\ne 0\\[6pt] &w(-30)=744150\ne 0\\[6pt] &w(30)=852390\ne 0\\[6pt] \end{split}\]

Zatem pierwiastkami całkowitymi wielomianu \( w(x) \) są: \( x=3 \) oraz \( x=-5 \).

Uwaga!
Zazwyczaj nie trzeba wykonywać szczegółowych obliczeń dla wszystkich dzielników. Dla wielu liczb od razu "na oko" widać, że wielomian dla nich się nie wyzeruje.
Ponadto zawsze warto zacząć sprawdzanie od najmniejszych dzielników.

Liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) są pierwiastkami wielomianu \(x^3-2x+1\). Oblicz, ile jest równe \(a^2+b^2+c^2\).

\(4\)