Poziom podstawowy
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[b=\frac{a+c}{2}\] Dowód:
Skoro liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg arytmetyczny, to możemy obliczyć różnicę tego ciągu na dwa sposoby: \[r=b-a\quad \text{oraz}\quad r=c-b\] Zatem mamy: \[\begin{split}b-a&=c-b\\[6pt] 2b&=a+c\\[6pt] b&=\frac{a+c}{2}\end{split}\] Co należało udowodnić.
Zadanie 1.
Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a + 5)\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( 7 \)
C.\( 2 \)
D.\( 11 \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 2.
Trójwyrazowy ciąg \((x+1,x-1,2x)\) jest arytmetyczny dla
A.\( x=-3 \)
B.\( x=-1 \)
C.\( x=0 \)
D.\( x=2 \)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 3.
Ciąg \((3x^2+5x,x^2,20-x^2)\) jest arytmetyczny.
Oblicz \(x\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: \(x=-4\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 4.
Liczby \(x + 1, 2x + 2, 8\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
Odpowiedź: \(x=\frac{5}{3}\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 5.
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
A.\( 28 \)
B.\( 29 \)
C.\( 33 \)
D.\( 40 \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 6.
Dany jest ciąg \((a_n)\) o wyrazie ogólnym \(a_n=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_3,a_5\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_3,x,a_5)\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:
A.\( x=\frac{61}{48} \)
B.\( x=\frac{61}{96} \)
C.\( x=\frac{69}{96} \)
D.\( x=\frac{69}{48} \)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 7.
Liczby
\(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
A.\( 3 \)
B.\( 1 \)
C.\( -1 \)
D.\( -7 \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 8.
Liczby
\(x, 4, x+2\) są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 3 \)
C.\( 6 \)
D.\( 1 \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 9.
Liczby \(7, a, 49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe
A.\( 14 \)
B.\( 21 \)
C.\( 28 \)
D.\( 42 \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 10.
Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).
Odpowiedź: \(x=\frac{1}{32}\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.